M7300 Globální analýza

Přírodovědecká fakulta
podzim 2022
Rozsah
4/2/2. 10 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
Mag. Katharina Neusser, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 14:00–15:50 MS1,01016, Út 12:00–13:50 MS1,01016
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M7300/01: St 8:00–9:50 M6,01011, K. Neusser
Předpoklady
Znalost elementárního diferenciálního a integrálního počtu
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Posluchači budou uvedeni do vektoroveho diferenciálního a integrální počtu. Jako obecný nástroj budou prezentovány Lieovy grupy a algebry a jejich reprezentace. Budou zmíněny vybrané aplikace konceptů riemannovské a symplektické geometrie, aplikace v optimálním řízení a analytické mechanice a příklady rovnic matematické fyziky.
Výstupy z učení
Po absolvování budou studenti umět pracovat s vektorovými poli a vnějšími formami na R^n a podvarietách R^n, budou umět používat obecnou Stokesovu větu a její důsledky ve vektorovém počtu. Osvojí si základní koncepty Lieovské teorie jako jsou exponenciální zobrazení, adjungovaná reprezentace, nakrytí grup, diferenciální počet pro funkce s hodnotami v Lieově grupě. Tyto poznatky budou schopni aplikovat v obastech analýzy opírajících se o riemannovské a symplektické geometrie, v optimálním řízení a analytické mechanice.
Osnova
  • Vektorová pole a vnější formy na R^n a podvarietách R^n,
  • obecná Stokesova věta a její důsledky ve vektorovém počtu,
  • geometrická teorie PDR 1. řádu (diferenciální ideály, Frobeniova věta).
  • Lieovy grupy a podgrupy, vztah k Lieovým algebrám (exponenciální zobrazení, adjungovaná reprezentace, nakrytí grup),
  • diferenciální počet pro funkce s hodnotami v Lieově grupě. Základní koncepty reprezentace Lieových grup, homogenní prostory.
  • Základní koncepty riemannovské a symplektické geometrie,
  • aplikace v optimálním řízení a analytické mechanice.
Literatura
    doporučená literatura
  • AGRICOLA, Ilka a Thomas FRIEDRICH. Global analysis : differential forms in analysis, geometry and physics. Translated by Andreas Nestke. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2002, xiii, 343. ISBN 0821829513. info
  • JOST, Jürgen. Riemannian geometry and geometric analysis. 5th ed. Berlin: Springer, 2008, xiii, 583. ISBN 9783540773405. info
Výukové metody
Standardní přednášky, standardní cvičení, samostatné studium
Metody hodnocení
standardní ustní zkouška
Vyučovací jazyk
Angličtina
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2019, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2023, podzim 2024.