Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

L. Atletika

část L06–L10

L06 Fyziologický výkon při běhu různou rychlostí

Japonský fyziolog Yamaoka naměřil u dvou skupin běžců – světové a slabé výkonnosti – výdej energie a vypočítal z něj výkon. Po přepočtu na nové jednotky dostaneme dvě tabulky:

A. světová úroveň

v(m/s)	N(kW)
5	1,29
6	2,163
7	3,63
8	6,49
8,42	8,38

Tuto tabulku lze nahradit aproximační funkcí

$N=0,08238.e^{0,546.v}\hspace{15 mm}r=0,9995$

B. Slabá výkonnost

v(m/s)	N(kW)
4,3	1,4
5	2,16
6	3,6
6,95	6,28

Aproximační funkce

$N=0,12819.e^{0,5592.v}\hspace{15 mm}r=0,9994$

Porovnáním obou aproximačních funkcí plyne:

1. běžec nižší úrovně musí podávat při stejné rychlosti větší výkon
2. výkon běžce roste s rychlostí běhu přibližně podle exponenciální funkce typu N = a · e^b·^v, tedy progresivněji nežli podle funkce mocninové (N = a · v^b).

Literatura

Yamaoka S. Studies on metabolismus in athletics sports. Res. Jour. Physiol. Educ. 9, 1965, 28

Nahoru

L07 Práce a účinnost při běhu

Rychlost běhu na delší trati (nad 1 km) je podíl délky trati a času:

$v=\frac{L}{t}$

Kinetická energie při této rychlosti je rovna práci, vykonané při rozběhu:

$E=\frac{1}{2}.m.v^2=A_1$

Odpor vzduchu při této rychlosti

$F=0,027.v^2\hspace{1 mm}(muži)$

$F=0,021.v^2\hspace{1 mm}(ženy))$

Práce proti tomuto odporu

$A_2=F.L=0,027.v^2.L$

Délka kroků závisí na rychlosti přibližně podle vztahů

$L_k=1,37.v^{0,19}\hspace{1 mm}(muži)$

$L_k=1,21.v^{0,21}\hspace{1 mm}(ženy)$

Práce pro zvedání těžiště závisí na rychlosti běhu a délce kroku

$A_3=\frac{m}{4}.(v^2-\sqrt{(v^4-(g.L_k)^2)}).\frac{L}{L_k}$

g … 9,81 m/s²

Práce při běhu v zatáčkách (viz L04)

$A_4=0,0427.m.L_k.v^2.int(\frac{L}{200})$

Celková práce

$A=A1+A2+A3+A4$

Fyziologický výkon při běhu

$N=0,0824.exp(0,545.v)$

a práce z něj

$A_f=N.t$

Účinnost je poměr nutné práce A a fyziologického výdeje energie A_f

$\eta=\frac{A}{A_f}$

Příklad:

běžec s m = 75 kg uběhne L = 5000 m za 13:00 min, tedy 780 sek. v = 5000 / 78 = 6,41 m/s
A₁ = 1,541 kJ
A₂ = 5,5469 kJ
L_k = 1,95 m
A₃ = 227,151 kJ
A₄ = 6,41475 kJ
A = 240,65345 kJ
N = 2,7892 kW
A_f = 2114,501 kJ
η = 240,65345 / 2114,501 = 0,1138
Přibližná účinnost práce tohoto běžce je 11 %.

Nahoru

L08 Skok vysoký a měření času

Skokan, který má na konci odrazu těžiště ve výšce h₁ a stoupavou rychlost v, bude svým těžištěm stoupat podle vztahu

$h=h_1+v.t-\frac{1}{2}.g.t^2$

kde g = 9,80665 m/s²

Maximální výšku těžiště najdeme, když derivaci tohoto výrazu podle času položíme rovnu nule:

$v-g.t=0$

Stoupání bude trvat

$t=\frac{v}{g}$

Tento čas je ale možné změřit. V něm stoupne těžiště o dráhu

$h-h_1=\frac{1}{2}.g.t^2$

a čas

$t_1=\sqrt{\frac{2}{g}}.\sqrt{h-h_1}=0,4156.\sqrt{h-h_1}$

Stejný výraz platí pro trvání pádu z vrcholu dráhy na doskočiště:

$t_2=0,4516.\sqrt{h-h_1}$

takže trvání celého letu skokana bude

$t=t_1+t_2=0,4516.(\sqrt{h-h_1}+\sqrt{h-h_1})$

Z tohoto vzorce nelze isolovat hledanou max.výšku těžiště h, ale vypočítat ji z t, h₁, h₂ je možné numericky funkcí SOLVER, kterou mají lepší vědecké kalkulátory. Jedinou podmínkou je dostatečně přesné změření trvání letu skokana: změnou výšky h skoku o ±1 cm se změní čas t o ± 0,004–0,005 sek. Chceme-li vypočítat maximální výšku h s chybou max. 1 cm, musíme čas změřit s uvedenou přesností, a to buď kinogramem s frekvencí snímání 250–200 obr / sek nebo elektronicky. Zde je ale problém se snímači začátku a konce letu skokana.

Pro minimální dovolenou výšku doskočiště podle pravidel atletiky h₂= 0,7 m dostaneme tabulku maximálních výšek h:

	t (sek)
h₁	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
1,2	1,427	1,577	1,754	1,960	2,188
1,25	1,454	1,607	1,783	1,987	2,216
1,3	1,492	1,638	1,813	2,016	2,244
1,35	1,526	1,670	1,843	2,044	2,272
1,4	1,561	1,702	1,873	2,074	2,300
1,45	1,596	1,734	1,904	2,103	2,330

Pro výšku doskočiště h₂ = 1 m dostaneme tabulku:

	t (sek)
h₁	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
1,2	1,547	1,705	1,888	2,095	2,328
1,25	1,575	1,732	1,915	2,122	2,354
1,3	1,604	1,760	1,942	2,148	2,380
1,35	1,634	1,788	1,969	2,176	2,407
1,4	1,664	1,817	1,997	2,203	2,434
1,45	1,695	1,847	2,026	2,230	2,461

Stanovit maximální výšku těžiště těla při skoku je důležité proto, že můžeme určit rozdíl mezi touto výškou a výškou laťky, tedy dokonalost techniky přechodu přes laťku. Zůstává problém, zda skok vrcholil nad laťkou, před ní nebo za ní. To může ukázat kinogram.

Příklad: v literatuře bylo uvedeno, že světový rekordman Javier Sotomayor (Cuba) měl na konci odrazu těžiště těla ve výšce h₁= 1,42 m. Kdyby doskočiště bylo vysoké h₂ = 1 m, a max. výška 2,45 + 0,1 = 2,55 m, pak by let trval

$t=0,4156.\sqrt{2,55-1,42}+\sqrt{2,55-1}=1,042\hspace{1 mm}sek.$

Budou tedy lety skokana, trvající více nežli 1 sek poměrně vzácné a jsou důkazem velké odrazové schopnosti skokana.

Nahoru

L09 Skok o tyči

Výška, do které zvedne skokan o tyči své těžiště, je součtem čtyř výšek:

výšky těžiště h1 nad zemí před svislým odrazem
zdvihu svislým odrazem h2
zdvihu pomocí rozběhu a pružnosti tyče h3
zdvihu pažemi na svislé tyči h4.

Obratnost skokana a technika přechodu přes laťku rozhodne o tom, zda skokan musí zvednout těžiště nad laťku, do její výšky nebo pod ni, protože tělo má tvar ∩.

výška těžiště skokana nad zemí na konci rozběhu h1 ≈ 1,3 m závisí na tělesné výšce skokana a rozložení hmoty (skokani o tyči mívají lehké nohy a masivní ramena).
svislým odrazem může skokan o tyči zvednout těžiště méně nežli skokan do výšky, tedy h3 ≈ 0,5–0,8 m.
na konci rozběhu má skokan vodorovnou rychlost v1, pro přechod laťky si musí ponechat vodorovnou rychlost v2, takže do pružnosti tyče může uložit rozdíl kinetických energií
$E_k=0,5.m.(v_1^2-v_2^2)$
Tato energie se dá přeměnit v energii polohy Ep = m · g · h₃a zdvih pomocí této energie bude
$h_3=\frac{(v_1^2-v_2^2)}{2.g}$
při účinnosti tyče h < 1 bude násobena tato výška účinností.
uložením kinetické energie do tyče se tyč ohne do oblouku, takže konce tyče spolu svírají úhel blízký 90°. Pak se tyč narovná a při tom katapultuje skokana vzhůru. Na narovnané tyči může skokan zvednout své těžiště pažemi o h4 ≈ 0,3 m.
Maximální výška těžiště je pak
$H=h1+h2+h3+h4$

Praktický příklad:

h1 = 1,3 m, h2 = 0,6 m,
h3 = (92 – 2²) / 19,61 = 3,93 m, h4 = 0,3 m.
H = 1,3 + 0,6 + 3,93 + 0,3 m = 6,13 m (světový rekord je 6,15 m).
V procentech: h1 = 20,7 %, h2 = 9,6 %, h3 = 65 %, h4 = 4,8 %. Je tedy energetický příspěvek rozběhu a přenosu tyčí největší.

Nahoru

L10 Vliv skloněné dopadové plochy na délku vrhů a hodů

Podle pravidel atletiky (Pravidlo 187, bod 11) "sklon výseče pro dopad náčiní ve směru vrhu nebo hodů nesmí překročit hodnotu 1:1000".

V rovnici

$y=y_0+L.\tan\alpha-\frac{4,905.L^2}{(v.\cos\alpha)^2}$

dosadíme y= ± L / 1000 nebo 0.

Pro
kouli dosadíme y₀ = 2,3 m, α = 42˚, v = 14 m/s
pro oštěp y₀ = 2,3 m, α = 36˚, v = 30 m/s

Koule: ± L / 1000 = 2,3 + L · tg 42˚ – 4,905 · L²/ (14 · cos 42˚)²

Oštěp: ± L / 1000 = 2,3 + L · tg 36˚ – 4,905 · L²/ (30 · cos 36˚)²

Rovnice řešíme podle L pomocí funkce Solver:

y	koule	oštěp
0	22,16	90,311
+ L / 1000	22,14	90,195
- L / 1000	22,18	90,427

Kolísá tedy délka
vrhu koulí při sklonu ± 1 / 1000 o ± 2 cm
hodu oštěpem při sklonu ± 1 / 1000 o ± 11,5 cm

Rekordy by se proto měly schvalovat jen při zlepšení vrhu koulí minimálně o 3 cm, při hodu oštěpem o 12 cm.

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ