Sport, matematika, počítač
Fakulta sportovních studií Masarykovy univerzity
Ing. Josef Kopřiva

Kliknutím na šedou plochu pod nápisem se vrátíte zpět nahoru

C. Matematika

část C01–C05

C01 Aproximace empirických funkcí

Empirická funkce je závislost mezi dvěma proměnnými – jednou nezávislou (x) a druhou závislou (y), která je popsána jen tabulkou dvojic x, y. Takové dvojice získáme zpravidla měřením a můžeme je zpracovat několika metodami:

interpretovat v původní číselné formě, což je obtížné a subjektivní,
zobrazit jako korelační pole zakreslením jednotlivých dvojic nebo jako graf spojením jednotlivých bodů,
závislost mezi daty aproximovat matematickou funkcí vhodného typu:
- lineární závislostí y = a + b · x
- polynomem stupně n y = a + b · x + c · x² + … + j · xⁿ
- různými funkcemi (mocninnou, exponenciální, logaritmickou, hyperbolickou atd., viz další kapitoly).

Nejčastěji použijeme metodu nejmenších čtverců, která najde parametry aproximační funkce y = f(x) nalezením minima výrazu

$V=\sum_{i=1}^n[x_i-f(x_i)]^2$

Řešením této podmínky podle parametrů funkce f(x) dostaneme jejich hodnoty, jak ukážeme v dalších kapitolách. Součinitel korelace dovoluje vybrat aproximační funkci, která nejlépe koreluje s vloženými daty.

Nahoru

C02 Lineární regrese neboli aproximace lineární funkcí y = a + b. x

Má-li bodový diagram (korelační pole) závislosti y na x lineární trend, můžeme použít lineární aproximační funkci

$y=a+b.x$

Základní podmínkou metody nejmenších čtverců je

$\sum_1^n(y-(a+b.x))^2=minimum$

kde n je počet bodů nebo dvojic x, y. Algebraickými operacemi a parciální derivací podle a, b dostaneme charakteristické rovnice

$b.\sum{x^2}+a.\sum{x}=\sum{x}.y$

$b.\sum{x}+a.n=\sum{y}$

Tuto soustavu rovnic můžeme řešit pomocí determinantů a následujícím programem, ke kterému jsou připojeny regresní výpočty.


DATA 50,5.61,60,6.46,70,7.3,80,8.13,90,9,100,9.86

a:

READ x, y: ON ERROR GOTO b
               
sx = sx + x: kx = kx + x * x
             
sy = sy + y: ky = ky + y * y
            
xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO a
       
b:
                                          
px = sx / n: py = sy / n
                   
s1 = SQR((kx – sx * sx / n) / (n – 1))
     
s2 = SQR((ky – sy * sy / n) / (n – 1))
     
c = (xy – sx * sy / n) / (n – 1)
           
r = c / (s1 * s2)
                          
b = c / (s1 * s1)
                          
a = py – b * px
                            
PRINT "px,sx="; px, s1
                     
PRINT "py,sy="; py, s2
                     
PRINT "a,b,r="; a, b, r
                   
e:
                                     
INPUT "x="; x
                          
y = a + b * x
                          
PRINT "y="; y
                          
INPUT "dalsi x? a/n"; d$
               
IF d$ = "a" THEN GOTO e
                   
END

Příklad:

mezičasy Carla Lewise
při světovém rekordu na 100 m
za 9,86 sek byly:

L(m)	t(s)
0	0,14
10	1,88
20	2,97
30	3,88
40	4,77
50	5,61
60	6,46
70	7,30
80	8,13
90	9,00
100	9,86

Z bodů 50 – 100 m dostaneme
regresní rovnici
t = 1,36238 + 0,084857.L(m)
r = 0,999974
a = 1,36 je časová ztráta
startem a rozbíháním
b = 0,084857 je strmost lin. části dat a převratná hodnota rychlosti mezi 50 a 100 m v = 11,4845 m/s.

Nahoru

C03 Korelační pole a graf regresní přímky

Naměříme-li nějakou lineární závislost pomocí dvojic dat x, y, můžeme potřebovat

zobrazit příslušné korelační pole (bodový graf)
proložit body regresní přímku, tj. vypočítat metodou nejmenších čtverců součinitele a, b regresní přímky
$y=a+b.x$
doplnit výsledky součinitelem korelace, který ukáže těsnost vazby, zatím co regresní součinitel b ukázal strmost této souvislosti.



DATA 100,110,120,107,140,115,160,125,180,132,200,138

DATA 220,147,240,152,260,154,280,159,300,165,320,167

DATA 340,173,360,175,380,179,400,182

CLS: INPUT "xmin,xmax="; x1, x2

INPUT "ymin,ymax="; y1, y2

CLS: SCREEN 10: KEY OFF

LINE (50, 10)-(50, 300): LINE -(640, 300)

FOR x = x1 TO x2 STEP (x2 – x1) / 10

v = 50 + (x – x1) / (x2 – x1) * 500

LINE (v, 300)-(v, 305)

LOCATE 23, v / 8 – 1: PRINT x;: NEXT x

FOR y = y1 TO y2 STEP (y2 – y1) / 10

s = 300 – (y – y1) / (y2 – y1) * 280

LINE (50, s)-(52, s)

LOCATE s / 14 + 1, 2: PRINT y: NEXT y

p:

READ x, y: ON ERROR GOTO q

CIRCLE (50 + (x – x1) / (x2 – x1) * 500, 300 – (y – y1) / (y2 – y1) * 280), 3

sx = sx + x: kx = kx + x * x: sy = sy + y: ky = ky + y * y

xy = xy + x * y: n = n + 1: GOTO p

q:

s1 = kx – sx * sx / n: s2 = ky – sy * sy / n

c = xy – sx * sy / n: b = c / s1: a = (sy – b * sx) / n

y3 = a + b * x1: y4 = a + b * x2

LINE (50, 300 – (y3 – y1) / (y2 – y1) * 280)-(550, 300 – (y4 – y1) / (y2 – y1) * 280)

LOCATE 20, 30: PRINT "a,b="; a; b

r = c / SQR(s1 * s2): LOCATE 21, 30: PRINT "r="; r

END

Příklad:

z dat v řádcích DATA dostaneme a= 83,93382 (úsek na ose y)
b=.2592647 (strmost regresní přímky)
r=.9869513
a na obrazovce bude následující graf. Ten vytiskneme klávesou PrtSc.

Nahoru

C04 Aproximace empirické funkce polynomem druhého stupně

Máme-li empirická data o vztahu y = f(x), který je kvadratický, (např. odpor vody nebo vzduchu v závislosti na rychlosti), můžeme použít k aproximaci kvadratický polynom

$y=a+b.x+c.x^2$

Součinitele a, b, c lze určit metodou nejmenších čtverců, která vychází z podmínky minimalizace výrazu

$\sum_1^n{(y-(a+b.x+c.x^2))^2}$

n … počet párů dat (x, y)

Algebraickými operacemi a parciální derivací výrazu podle a, b, c dostaneme charakteristické rovnice

$c.\sum{x^4}+b.\sum{x^3}+a.\sum{x^2}=\sum{xy^2}$

$c.\sum{x^3}+b.\sum{x^2}+a.\sum{x}=\sum{x.y}$

$c.\sum{x^2}+b.\sum{x}+a.n=\sum{x}$

Tyto rovnice vyřešíme pomocí uvedených sumací metodou determinantů následujícím programem, který vypočítá i potřebné sumace.




DATA 1,68,2,59.6,3,56.9

s:

READ x, y: ON ERROR GOTO t

d = d + x: k = x * x

e = e + k: f = f + k * x

g = g + k * k: h = h + y

i = i + x * y: j = j + k * y

n = n + 1: GOTO s

t:

l = e – d * d / n

m = i – d * h / n

c = f – d * e / n

p = j – e * h / n

q = g – e * e / n

r = l * q – o * o

a = (p * l – m * o) / r

b = (m * q – p * o) / r

c = (h – b * d – a * e) / n

PRINT "a,b,c="; a; " "; b; " "; c

u:

INPUT "x="; x

y = (a * x + b) * x + c

PRINT "y="; y

INPUT "dalsi y? a/n"; z$

IF z$ = "a" THEN GOTO u

END

Příklad:

z dat v řádku DATA dostaneme a= 2,850031
b= -16,95013
c= 82,10011
a můžeme počítat regresně.

Nahoru

C05 Aproximace empirické funkce polynomem zvoleného stupně

Má-li empirická funkce složitější průběh, nelze ji uspokojivě aproximovat jednoduchými dvouparametrovými funkcemi ani polynomem druhého stupně. Použijeme-li aproximaci polynomem vyššího stupně, vznikne problém s volbou tohoto stupně. Příliš vysoký stupeň polynomu vede k oscilacím regresních hodnot mezi vloženými body empirické funkce. Proto je nutné vyzkoušet několik stupňů a vybrat regresními výpočty nejlepší.

Při metodě nejmenších čtverců najdeme součinitele polynomu řešením charakteristických rovnic, obsahujících sumace až do x²ⁿ

$a.\sum{x^2n}+b.\sum{x^{2n-1}}+c.\sum{x^{2n-2}}…=\sum{x^n}.y$

$a.\sum{x^{2n-1}}+b.\sum{x^{2n-2}}+c.\sum{x^{2n-3}}…=\sum{x^{n-1}}.y$

…

$a.\sum{x^n}+b.\sum{x^{n-1}}+c.\sum{x^{n-2}}…+j.n=\sum{y}$

Následující program provede všechny potřebné sumace, vyřeší charakteristické rovnice podle a, b, c, … maticovou metodou a nakonec umožní regresní výpočty podle výsledného polynomu.




















DATA 40,4.79,60,6.48,80,8.18,100,9.92

INPUT "pocet dvojic,stupen polynomu="; m, n

DIM a(n + 1, n + 2), m(2 * n), p(n)

FOR i = 0 TO n: FOR j = 1 TO m

READ x, y: IF x = 0 THEN x =.000001

m(i) = m(i) + x ^ i: p(i) = p(i) + y * x ^ i: NEXT j

RESTORE: NEXT i: RESTORE

FOR i = n + 1 TO 2 * n: FOR j = 1 TO m

READ x, y: m(i) = m(i) + x ^ i: NEXT j: RESTORE: NEXT i

FOR r = 1 TO n + 1: FOR s = 1 TO n + 1

a(r, s) = m(r + s – 2): NEXT s: NEXT r

FOR r = 1 TO n + 1: a(r, n + 2) = p(r – 1): NEXT r

FOR s = 1 TO n + 1: FOR r = 1 TO n + 1

IF r = s OR a(r, s) = 0 THEN GOTO a

p = a(s, s) / a(r, s)

FOR t = 1 TO n + 2: a(r, t) = p * a(r, t) – a(s, t): NEXT t

a:

NEXT r: NEXT s

FOR r = 1 TO n + 1: a(r, n + 2) = a(r, n + 2) / a(r, r): NEXT r

FOR r = 0 TO n

PRINT "a"; r; "="; a(r + 1, n + 2): NEXT r

b:

INPUT "x="; x: p = a(n + 1, n + 2)

FOR i = n TO 1 STEP -1

p = p * x + a(i, n + 2): NEXT i

PRINT "p="; p

INPUT "dalsi x? a/n"; c$

IF c$ = "a" THEN GOTO b

END

Příklad:

data v programu jsou mezičasy C.Lewise na 100m na OH 1988. Zvolíme-li stupeň polynomu a = 3, dostaneme
a0 = 1,3199971
a1 = 0,089750244
a2 = 1,0000377E-4
a3 = 6,2501783E-7

Tato aproximace vyhovuje, protože vrací vložená data a neosciluje mezi nimi. Pro n = 4 je výsledná aproximace nevyhovující. a0 je časová ztráta startem a rozběhem, a1 je převratná hodnota rychlosti v = 11,142 m/s, další součinitele polynomu jsou korekční na nerovnoměrnost rychlosti.

autor: Ing. Josef Kopřiva, recenzent: Mgr. Martin Sebera, Ph.D. |
Fakulta sportovních studií, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2011

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ