Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Fisherovo-Snedecorovo rozdělení: $F(\nu_1,\nu_2)$

Náhodná veličina $X$ se řídí Fisherovo-Snedecorovým rozdělením s $\nu_1>0$ a $\nu_2>0$ stupni volnosti, píšeme $X \sim F(\nu_1,\nu_2)$, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar:

\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_1+\nu_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{\nu_2}{2}\right)}\bigl(\frac{\nu_1}{\nu_2}\bigr)^{\frac{\nu_1}{2}}x^{\frac{\nu_1}{2}-1}\bigl(\frac{\nu_1}{\nu_2}x+1\bigr)^{-\frac{\nu_1+\nu_2}{2}} &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\ 0 &\text{jinak}\tag{1.38} \end{cases} \end{equation}

Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:

\begin{align} E(X) &= \frac{\nu_2}{\nu_2-2} \qquad \text{pro $\nu\geq 3$} \tag{1.39}\\ D(X) &= \frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)} \qquad \text{pro $\nu\geq 5$}\tag{1.40} \end{align}

Pro $\nu=1,2$ neexistuje střední hodnota, rozptyl neexistuje pro $\nu=1,2,3,4$.

Fisherovo-Snedecorovo rozdělení má velký význam v matematické statistice, využívá se při testech hypotéz na rovnost rozptylů dvou souborů, nebo v analýze rozptylu. Vzniká jako rozdělení podílu dvou nezávislých náhodných veličin $\frac{X_1}{\nu_1}$ a $\frac{X_2}{\nu_2}$, přičemž $X_1 \sim \chi^2(\nu_1)$ a $X_2 \sim \chi^2(\nu_2)$. Jedná se taktéž o asymetrické rozdělení, jehož kvantily jsou tabelovány pro $\nu_1 \leq 100$ a $\nu_2 \leq 100$. Pro $\nu_1 > 100$ nebo pro $\nu_2>100$ aproximujeme toto rozdělení normálním rozdělením $N(E(X), D(X))$. Pro výpočet kvantilů $F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$, kde $\alpha<0,5$ se využívá vztah:

\begin{equation} F_\alpha(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(\nu_2,\nu_1)}\tag{1.41} \end{equation}

Software STATISTICA používá pro výpočet funkce hustoty funkci $F(x;nu;omega)$, pro výpočet distribuční funkce funkci $IF(x;nu;omega)$ a pro výpočet kvantilů Fisherova-Snedecorova rozdělení funkci $VF(x;nu;omega)$, kde:

$nu$ = počet stupňů volnosti $\nu_1$,

$omega$ = počet stupňů volnosti $\nu_2$.