Náhodná veličina $X$ má logaritmicko normální (lognormální) rozdělení s parametry $\mu$ a $\sigma^2$, jestliže náhodná veličina $\ln X$ má normální rozdělení $N(\mu,\sigma^2)$.
Hustota pravděpodobnosti je tvaru:
\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(\ln x-\mu)^2}{\sigma^2}} &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\ 0 &\text{jinak}\tag{1.14} \end{cases} \end{equation}Distribuční funkci je možné charakterizovat pomocí distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení následovně:
\begin{equation} F(x) = \begin{cases} \Phi\Bigl(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\Bigr) &\text{pro $x \in (0,\infty)$} \\ 0 &\text{jinak}\tag{1.15} \end{cases} \end{equation}Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:
\begin{align} E(X) &= \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\tag{1.16} \\ D(X) &= \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^2}(\mathrm{e}^{\sigma^2}-1)\tag{1.17} \end{align}Logaritmicko normální rozdělení je asymetrické, zešikmené doleva. Používá se často pro modelování ekonomických veličin a v teorii spolehlivosti. Je to taktéž nejčastěji používané rozdělení pro jednostranně ohraničené údaje.
Toto rozdělení se využívá též v pojišťovnictví při výpočtu pravděpodobnosti uplatnění pojistné události. Pojistnou událost klient uplatní v případě, jestli škoda je větší než $r$ - následující navýšení pojistného v následujícím pojistném období. Zaveďme náhodné veličiny:
$X$ - značí bonusovou třídu klienta, přičemž klient je na počátku po uzavření smlouvy s pojišťovnou zařazený do třídy 0, kde platí pojistné ve výši 100 %,
$Y$ - značí počet pojistních událostí, řídí se Poissonovým rozdělením s parametrem $\lambda$: $Y \sim Po(\lambda)$. Jev $A$ označuje situaci, kdy klient uplatní pojistnou událost,
$Z$ - značí výši škody, o níž předpokládáme, že se řídí logaritmicko normálním rozdělením s parametry $\mu$ a $\sigma^2$, tedy $Z \sim LN(\mu, \sigma^2)$.
Pak pravděpodobnost uplatnění pojistné události je daná vztahem:
\begin{equation} P(A) = \biggl[1-\Phi\biggl(\frac{\ln r-\mu}{\sigma}\biggr)\biggr](1-\mathrm{e}^{-\lambda})\tag{1.18} \end{equation}Software STATISTICA používá pro výpočet hustoty funkci $Lognorm(x;mu;sigma)$, pro výpočet distribuční funkce funkci $ILognorm(x;m;s)$, kde:
$m=mu=$ parametr $\mu$,
$s=sigma=$ parametr $\sigma$.
Nechť $X$ je náhodná veličina s logaritmicko normálním rozdělením s parametry $\mu=2$ a $\sigma^2=9$. Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ je z intervalu $(0,30)$.
Náhodná veličina $X\sim LN(2;9)$, hledaná pravděpodobnost je:
$P(0\lt X\lt 30) = F(30)-F(0) = F(30) = \Phi\left(\frac{\ln 30-2}{\sqrt{9}}\right) = \Phi(0,47) = 0,681$
Klient, který má v pojišťovně uzavřeno havarijní pojištění, je po určitém časovém okamžiku na základě bezeškodního průběhu v první bonusové třídě, kde platí 65 % základního pojistného, které činí 1100 Kč. Parametr $\lambda$ Poissonova rozdělení počtu pojistních událostí je roven 0,1 a výše škody se řídí logaritmicko normálním rozdělením s parametry $\mu=6$ a $\sigma^2=2$:
výše škody je náhodná veličina, pro kterou platí: $X\sim LN(6,2)$. Podle vztahu pro střední hodnotu logaritmicko normálního rozdělení spočítáme:
$E(X) = \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} = \mathrm{e}^7=1\,096,63$
Střední hodnota škody činí přibližne 1096,63 Kč.
klient uplatní pojistnou událost, jestliže škoda bude větší než navýšení pojistného $r$, v našem případě:
$r=1\,100-0,65\cdot 1\,100 = 385$ Kč. Přímo spočítáme požadovanou pravděpodobnost:
$P(A) = \biggl[1-\Phi\biggl(\frac{\ln 385 - 6}{\sqrt{2}}\biggr)\biggr](1-\mathrm{e}^{-0,1}) = [1-\Phi(-0,033)](1-0,90484) = \\ =\Phi(0,033)\cdot 0,09516 = 0,51197 \cdot 0,09516 = 0,0487$
Klient uplatní za daných podmínek pojistnou událost s pravděpodobností 4,87 %.
Centrum interaktivních a multimediálních studijních opor pro inovaci výuky a efektivní učení | CZ.1.07/2.2.00/28.0041
