Geometrické rozdělení: $Ge(p)$
Uvažujme sérii za sebou jdoucích nezávislých pokusů, při pravděpodobnosti úspěšného pokusu rovné $p$ a neúspěšného pokusu rovné $1-p$, přičemž $p \in (0,1)$. Náhodná veličina $X$, která označuje počet neúspěšných pokusů před prvním úspěšným, má geometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametrem $p$, píšeme: $X \sim Ge(p)$.
Pravděpodobnostní funkce je tvaru:
\begin{equation}
p(x) =
\begin{cases}
p(1-p)^x &\text{pro $x=0,1,2, \dots $}\\
0 &\text{jinak}\tag{1.14}
\end{cases}
\end{equation}
Distribuční funkce je tvaru:
\[F(x) = p \sum_{x_i \leq x} (1-p)^{x_i}\]
Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:
\begin{align}
E(X) &= \frac{1-p}{p}\tag{1.15} \\
D(X) &= \frac{1-p}{p^2}\tag{1.16}
\end{align}
STATISTICA používá pro výpočet pravděpodobnostní funkce funkci $Geom(x;p)$ a pro výpočet distribuční funkce funkci $IGeom(x;p)$, kde:
$x$ = počet úspéchů,
$p$ = pravděpodobnost úspěchu.
Příklad 1.4:
Ve firmě je známé, že na výběrové řízení na určitou pozici se dostaví uchazeč s vysokoškolským vzděláním s pravděpodobností 0,65, a uchazeč bez vysokoškolského vzdělání s pravděpodobností 0,35. Určete pravděpodobnost, že až čtvrtý uchazeč o danou pozici bude mít vysokoškolské vzdělání.
postup
postup v programu Statistica
Náhodná veličina $X \sim Ge(0,65)$.
$P(X=3) = 0,32^{3}0,65 = 0,027869$
Pravděpodobnost, že o pozici ve firmě se až jako čtvrtý bude ucházet člověk s vysokoškolským vzděláním, je 2,79 %.
Vytvoříme nový datový soubor o 1 proměnné a 1 případu, do dlouhého jména proměnné napíšeme:
$=Geom(3;0,65)$ a dostaneme výsledek 0,02786875.
Výpočet pomocí pravděpodobnostního kalkulátoru a tedy i následné vykreslení grafů se v případě náhodné proměnné $X \sim Ge(p)$ nedá použít, protože kalkulátor neobsahuje geometrické rozdělení.
Příklad 1.5:
Pravděpodobnost chyby při přenosu 1 bitu je 0,1. Jednotlivé přenosy na sobě nezávisí. Náhodná veličina $X$ udává, kolik bitů bude přeneseno, dokud nedojde k první chybě. Určete pravděpodobnost, že:
- bude přeneseno právě 5 bitů,
- bude přenesených aspoň 5 bitů,
- budou přenesené nejvýše 4 bity,
- bude přenesených nejméně 2 a nejvýše 5 bitů.
postup
postup v programu Statistica
Náhodná veličina $X \sim Ge(0,1)$
- $P(X=5) = 0,1(1-0,1)^5 = 0,059$
Právě 5 bitů bude přeneseno s pravděpodobností 5,9 %.
- $P(X \geq 5) = 1- P(X \leq 4) = 1-F(4) =\\ = 1- 0,1(0,9^0 + 0,9^1 + \dotsb + 0,9^4) = 0,59049$
Aspoň 5 bitů bude přeneseno s pravděpodobností 59,05 %.
- $P(X \leq 4) = F(4) = 0,1(0,9^0 + \dotsb + 0,9^4) = 0,4095$
Nejvýše 4 bity budou přeneseny s pravděpodobností 40,95 %.
- $P(2 \leq X \leq 5) = F(5) - F(1) =\\ = 0,1(0,9^0 + \dotsb + 0,9^5) - 0,1(0,9^0 + 0,9^1) = 0,27856$
2-5 bitů bude přeneseno s pravděpodobností 27,86 %.
Vytvoříme nový datový soubor se 4 proměnnými a 1 případem, do dlouhého jména proměnných postupně píšeme:
- $=Geom(5;0,1)$ a dostaneme výsledek 0,059.
- $=1-IGeom(4;0,1)$ a dostaneme výsledek 0,59049.
- $=IGeom(4;0,1)$ a dostaneme výsledek 0,40951.
- $=IGeom(5;0,1) - IGeom(1;0,1)$ a dostaneme výsledek 0,278559.
Vykreslení grafů pravděpodobnostní a distribuční funkce náhodné veličiny $X \sim Ge(0,1)$ v systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 3 proměnných a 15 případech. První proměnnou nazveme X a uložíme do ní hodnoty 0 až 14: do dlouhého jména proměnné napíšeme: $=v0-1$. Druhou proměnnou nazveme PF a uložíme do ní hodnoty pravděpodobnostní funkce, do dlouhého jména napíšeme: $=Geom(x;0,1)$. Třetí proměnnou nazveme DF a uložíme do ní hodnoty distribuční funkce, do dlouhého jména této proměnné napíšeme: $=IGeom(x;0,1)$.
Pravděpodobnostní funkce: Grafy - Bodové grafy - Proměné X a PF - OK - odškrtneme Typ proložení: lineární - OK.
Distribuční funkce: Grafy - Bodové grafy - Proměnné X a DF - OK - odškrtneme Typ proložení: lineární - OK
- 2krát klikneme na pozadí grafu - Spojnice - Obecné - odškrtneme Značky - zaškrtneme Spojnice - Typ čáry: Schod - OK. Opět dvojklikem na pozadí grafu vybereme: Osa - Měřítko - Mód: Ručně - Minimum = 0, Maximum = 14 - OK.
