Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
     

Hypergeometrické rozdělení: $Hg(N,M,n)$

Uvažujme množinu $N$ prvků, mezi kterými je $M$ prvků se sledovanou vlastností. Náhodně vybereme $n$ prvků bez vracení ze všech $N$ prvků. Náhodná veličina $X \sim Hg(N,M,n)$ udává počet prvků se sledovanou vlastností v náhodném výběru $n$ prvků, přičemž $M\in\mathbb{N}$, $N \in \mathbb{N}$, $1\leq n \lt N$, $1\leq M \lt N$.

Pravděpodobnostní funkce je tvaru:

\begin{equation} p(x) = \begin{cases} \frac{\binom{M}{x} \binom{N-M}{n-x}}{\binom{N}{n}} &\text{pro $x=max\{0,M-N+n\}, …, min\{n,M\} $}\\ 0 &\text{jinak}\tag{1.20} \end{cases} \end{equation} Distribuční funkce je tvaru: \[F(x) = \sum_{x_i \leq x} \frac{\binom{M}{x_i} \binom{N-M}{n-x_i}}{\binom{N}{n}}\] Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl: \begin{align} E(X) &= n\frac{M}{N}\tag{1.21} \\ D(X) &= N\frac{M}{N}\biggl(1-\frac{M}{N}\biggr)\frac{M-n}{N-1}\tag{1.22} \end{align}

Limitním případem hypergeometrického rozdělení je rozdělení binomické, pro $x \rightarrow \infty$ a $\frac{M}{N} \rightarrow 0$ je $Hg(N,M,n) \approx Bi(p=\frac{M}{N},n)$. Ztrácí se totiž rozdíl mezi výběrem s vracením a výběrem bez vracení.

Software STATISTICA používá pro výpočet pravděpodobnostní funkce funkci $Hypergeometric(x;M;N;n)$ a pro výpočet distribuční funkce funkci $IHypergeometric(x;M;N;n)$, kde:

$x$ = počet prvků se sledovanou vlastností,

$M$ = počet všech označených prvků,

$N$ = počet všech prvků,

$n$ = rozsah výběru z $N$ prvků.

Příklad 1.7:

V bance mají seznam 50 žadatelů o úvěr. Mezi nimi je 35 spolehlivých a 15 nespolehlivých žadatelů. Určete pravděpodobnost, že jestli banka poskytne úvěr právě 20 žádatelům, bude z nich 15 spolehlivých a 5 nespolehlivých.

postup
postup v programu Statistica

Jedná se o hypergeometrické rozdělení pravděpodobnosti s parametry:

N = 150 … všichni žadatelé

M = 35 … spolehliví žadatelé

N-M = 15 … nespolehliví žadatelé

n = 20 … počet poskytnutých úvěrů

x = 15 … vybraní spolehliví zájemci

n-x = 5 … vybraní nespolehliví zájemci

Pak námi hledaná pravděpodobnost je: $P(A) = \frac{\binom{35}{15}\binom{15}{5}}{\binom{50}{20}} = 0,20695$

Pravděpodobnost, že z 20-ti poskytnutých úvěrů bude 15 poskytnutých spolehlivým žadatelům a 5 nespolehlivým žadatelům, je 20,7 %.

Příklad 1.8:

Mezi 15 vejci je v jisté prodejně 6 prasklých. Jaká je pravděpodobnost, že když vybereme 4 vejce, budou z nich:

  1. právě 2 prasklá,
  2. alespoň 2 prasklá.
postup
postup v programu Statistica

Náhodná veličina $X$ udává počet vybraných prasklých vajec, $X \sim Hg(15,6,4)$.

  1. $P(X=2) = \frac{\binom{6}{6}\binom{9}{2}}{\binom{15}{4}} = \frac{540}{1365} = 0,3956$
    Pravděpodobnost, že mezi 4 vybranými vejci budou právě 2 prasklá, je 39,56 %.
  2. $P(X \geq 2) = 1-P(X\leq 1) = 1-F(1) = 1-\sum_{x_i=0}^1 \frac{\binom{6}{x_i} \binom{9}{4-x_i}}{\binom{15}{4}} =\\ = 1-0,4615 = 0,5385$
    Pravděpodobnost, že mezi 4 vybranými vejci budou alespoň 2 prasklá, je 53,85 %.
RNDr. Marie Budíková, Dr. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |
Stránky Přírodovědecké fakulty MU
| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2015

Centrum interaktivních a multimediálních studijních opor pro inovaci výuky a efektivní učení | CZ.1.07/2.2.00/28.0041