Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Multinomické rozdělení: $Mu(n,p_1, \dots,p_k)$

Uvažujme pokus, ve kterém vždy musí nastat jeden ze vzájemně disjunktních jevů $A_1, \dots, A_k$. Nechť pravděpodobnost jejich nastoupení je $P(A_i) = p_i$ a platí $p_1 + \dotsb + p_k = 1$. Náhodný vektor $\mathbb{X} = (X_1,\dots,X_k)$ udává počet nastoupení jevu $A_1$ až jevu $A_k$ v $n$ nezávisle opakovaných pokusech.

Pravděpodobnostní funkce je tvaru:

\begin{equation} p(x_1, \dots ,x_k) = \begin{cases} \frac{n!}{x_1! \dotsm x_k!}p_1^{x_1} \dotsm p_k^{x_k} &\text{pro $x_1 \in \{0,\dots,n\},\dots,x_k \in \{0,\dots,n\}$}\\ 0 &\text{jinak}\tag{1.29} \end{cases} \end{equation}

Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl: pro každé $i \in \{1, \dots,n\}$ platí:

marginální střední hodnota: $E(X_i) = np_i$

marginální rozptyl: $D(X_i) = np_i(1-p_i)$

pro každé $i \in \{1, \dots,k\}$, $j \in \{1, \dots,k\}$, $i \lt j$ platí: $C(X_i, X_j) = -np_ip_j$

Multinomické rozdělení je zobecněním binomického rozdělení. Uvažujme $n$ nezávislých pokusů, přičemž každý musí skončit právě jedním z $k$ možných výsledků. Jednotlivé pokusy jsou navzájem nezávislé a předpokládáme, že pravděpodobnost nastoupení jevu $A_i$ je rovna $p_i$ bez ohledu na pořadí pokusů, což platí pro všechna $i$, $i = 1,\dots, k$ a $\sum_{i=1}^k p_i = 1$. Binomické rozdělení je tedy speciálním případem multinomického rozdělení pro $k=2$. Jev $A_1=A$ nastane s pravděpodobností $p_1=p$ a opačný jev k jevu $A$, jev $A_2=\overline{A}$ nastane s pravděpodobností $p_2=1-p$.

Software STATISTICA nemá implementovanou funkci pro výpočet multinomického rozdělení, k jeho výpočtu lze využít funkci k výpočtu faktoriálů: $Fact(n)$.