Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Studentovo rozdělení: $t(\nu)$

Náhodná veličina $X$ se řídí Studentovým rozdělením s $\nu$ stupni volnosti, píšeme $X \sim t(\nu)$, jestliže její hustota pravděpodobnosti má tvar:

\begin{equation} f(x) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\nu\pi}}\biggl(1+\frac{x^2}{\nu}\biggr)^{-\frac{\nu+1}{2}} \qquad\text{pro $x \in (-\infty,\infty)$}\tag{1.34} \end{equation}

Vztahy pro střední hodnotu a rozptyl:

\begin{align} E(X) &= 0 \qquad \text{pro $\nu\geq 2$}\tag{1.35} \\ D(X) &= \frac{\nu}{\nu-2} \qquad \text{pro $\nu\geq 3$}\tag{1.36} \end{align}

Střední hodnota neexistuje pro $\nu=1$, pro $\nu=1,2$ neexistuje ani rozptyl. Speciálním případem Studentova rozdělení pro $\nu=1$ je Cauchyho rozdělení:

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)} \qquad\text{pro $x \in (-\infty,\infty)$}\tag{1.37} \end{equation}

kterého střední hodnota ani rozptyl neexistují.

Studentovo rozdělení je významné v oblasti matematické statistiky, hraje významnou úlohu při testech statistických hypotéz. Vzniká jako podíl dvou nezávislých náhodných veličin: náhodné veličiny $X \sim N(0,1)$ a náhodné veličiny $\sqrt{\frac{Y}{n}}$, kde $Y \sim \chi^2(n)$. Též se jedná o rozdělení symetrické, pro jeho kvantily platí: $t_\alpha(\nu) = -t_{1-\alpha}(\nu)$. Pro hodnoty $n>30$ ho možno aproximovat standardizovaným normálním rozdělením.

Software STATISTICA používá pro výpočet hustoty funkci $Student(x;df)$, pro výpočet distribuční funkce funkci $IStudent(x;df)$ a pro výpočet kvantilů Studentova rozdělení funkci $VStudent(x;df)$, kde:

$df$ = počet stupňů volnosti $\nu$.