Hodnost matice je důležitým pojmem pro určení počtu řešení soustavy lineárních rovnic. Abychom tento pojem pochopili, musíme si nejprve zopakovat pojmy lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů.
Nechť $ \vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n $ je konečná posloupnost vektorů z $ \mathbb{R}^{n} $ a $ k_1,k_2, \dots, k_n \in \mathbb{R} $ . Vektor
$$ {\color{DarkBlue} {\vec v} }= k_1 \cdot \vec u_1 + k_2 \cdot \vec u_2 + \dots + k_n \cdot \vec u_n = \sum \limits_{i=1}^{n} k_i \cdot \vec u_i $$ (6)nazýváme lineární kombinací vektorů $ \vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n $ .
Vektory $ \vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n $ nazýváme lineárně nezávislé (LN), jestliže z rovnosti \( {\color{DarkBlue} {k_1 \cdot \vec u_1 + k_2 \cdot \vec u_2 + \dots + k_n \cdot \vec u_n = \vec o}} \) (7) plyne
\( {\color{DarkBlue} {k_1= k_2= \dots = k_n = 0}} \) (8).
V opačném případě řekneme, že vektory jsou lineárně závislé.
Vidíme, že pojem lineární závislost je opakem pojmu lineární nezávislosti. Co to přesně znamená?
Vektory $ \vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n $ jsou lineárně závislé (LZ), jestliže platí $ {\color{DarkBlue} {k_1 \cdot \vec u_1 + k_2 \cdot \vec u_2 + \dots + k_n \cdot \vec u_n = \vec o}} $ a alespoň jedno
\( {\color{DarkBlue} {k_i \neq 0}} \) (9).
V praktických případech nám pomůže k určení lineární závislosti následující věta.
Vektory $ {\color{DarkBlue} {\vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n} } $ (pro $ n > 1 $ ) jsou lineárně závislé, je-li aspoň jeden z nich lineární kombinací zbývajících vektorů. Stačí si uvědomit, že pokud jsou vektory LZ, musí ve vektorové rovnici $ k_1 \cdot \vec u_1 + k_2 \cdot \vec u_2 + \dots + k_n \cdot \vec u_n = \vec o $ existovat nenulové $ k_i $ . Příslušný vektor $ u_i $ pak můžeme z rovnice vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících vektorů: $ u_i = -\dfrac{k_1}{k_i} \cdot \vec u_1 + -\dfrac{k_2}{k_i} \cdot \vec u_2 + \dots + -\dfrac{k_n}{k_i} \cdot \vec u_n $ .
Z této věty přímo plyne, že vektory $ \vec u_1,\vec u_2, \dots, \vec u_n $ jsou lineárně závislé např. pokud
jeden z vektorů je násobkem jiného vektoru,
jsou mezi nimi dva vektory stejné,
je mezi nimi alespoň jeden vektor nulový.
Jak ale určíme v obecném případě, kolik ze zadaných vektorů může být lineárně závislých/nezávislých? K tomu nám pomůže pojem hodnost matice. Řádky matice totiž můžeme chápat jako vektory. Místo lineární ne/závislosti vektorů pak v případě matic mluvíme o lineární ne/závislosti řádků matice.
Hodností matice $ A $ rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme $ {\color{DarkBlue} {h(A)}} $ .
A jsme u klíčové otázky: Jak určíme hodnost matice?
Pomocí tzv. ekvivalentních úprav převedeme matici do tzv. schodovitého tvaru.
Řekneme, že matice a je ve schodovitém tvaru, jestliže v matici $ A $ každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející.
Mějme dvě matice:
$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 3 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right) $ a $ B=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ {\color{Red} 0} & 1 & 1 & 5\\ {\color{Red} 0} & 3& -2 & 2 \end{array}\right) $ .
Matice $ A $ je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Matice $ B $ ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul.
Hodnost matice $ B $ , která vznikne z matice $ A $ některou z následujících úprav:
záměnou řádků,
vynásobením libovolného řádku nenulovým číslem,
přičtením některého řádku, nebo jeho násobku, k jinému řádku,
vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků, Možnost d - vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků může např. znamenat vynechání řádku složeného ze samých nul, resp. vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo který je násobkem jiného řádku. Tyto úpravy však pro samotné určení hodnosti matice není nutné provádět. Stačí převést kterýkoli z těchto řádků na řádek sestávající se ze samých nul, který se do hodnosti matice nezapočítává.
je rovna hodnosti matice $ A $ . Vyjmenované úpravy nazýváme ekvivalentními úpravami a zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {A \sim B}} $ . Někdy se též tyto úpravy nazývají jako elementární řádkové úpravy.
Hodnost původní matice určíme z hodnosti matice ve schodovitém tvaru podle následující věty.
Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků.
Mějme dvě matice:
$ A=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 3 & 1 & 5\\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right) $ a $ B=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ {\color{Red} 0} & 1 & 1 & 5\\ {\color{Red} 0} & 3& -2 & 2 \end{array}\right) $ .
Matice $ A $ je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Obsahuje 3 nenulové řádky, a proto $ h(A)=3 $ .
Matice $ B $ ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul. Proto je třeba tuto matici nejdříve do schodovitého tvaru převést. Toho dosáhneme např. tak, že 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme ho k třetímu řádku:
$ B=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1 & 5\\ 0 & 3& -2 & 2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1 & 5\\ 0 & 0& -5 & -13 \end{array}\right). $
Matici $ B $ jsme převedli do schodovitého tvaru, ve kterém jsou 3 nenulové řádky. Proto $ h(B)=3 $ .