Uvažujme čtvercovou matici $ A $ řádu $ n $ . Ke každé takové matici přiřadíme jistým způsobem číslo, které nazveme determinantem matice $ A $ . Determinant matice se hodí např. k řešení soustav rovnic. V následující definici se omezíme jen na matice řádu 2 a 3, i když samozřejmě existuje obecná definice i pro matice řádu $ n $ .
Buď $ A $ čtvercová matice řádu $ n $ . Determinant matice $ A $ je číslo $ {\color{DarkBlue} {|A|}} $ přiřazené matici následujícím způsobem:
je-li $ n=2 $ : \( |A|=\left|\begin{array}{cc} {\color{Teal} {a_{11}}} & {\color{Magenta} {a_{12}}} \\ {\color{Magenta} {a_{21}}} & {\color{Teal} {a_{22}}} \end{array}\right|={\color{Teal} {a_{11}}}{\color{Teal} {a_{22}}}-{\color{Magenta} {a_{12}}}{\color{Magenta} {a_{21}}} \) (10)
- tzv. křížové pravidlo,
je-li $ n=3 $ : $ |A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|= $
\( =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} \) (11) - tzv. Sarussovo pravidlo.
Zapamatovat si vzorec pro výpočet determinantu matic řádu 2 není žádný problém. Pro matice řádu 3 se vyplatí uplatnit následující pomůcku: vedle zadaného determinantu opište znovu jeho 1. a 2. sloupec. Členy determinantu s kladným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na hlavní diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných, členy determinantu se záporným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na vedlejší diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných:
$ |A|=\left|\begin{array}{ccc} {\color{Teal} {a_{11}}} & {\color{Magenta} {a_{12}}} & {\color{Orange} {a_{13}}} \\ a_{21} & {\color{Teal} {a_{22}}} & {\color{Magenta} {a_{23}}} \\ {\color{Teal} {a_{31}}} & {\color{Magenta} {a_{32}}} & {\color{Teal} {a_{33}}} \end{array}\right|\begin{array}{cc} {\color{Magenta} {a_{11}}} & {\color{Orange} {a_{12}}} \\ {\color{Orange} {a_{21}}} & a_{22} \\ {\color{Magenta} {a_{31}}} & {\color{Orange} {a_{32}}} \end{array}= $
$ ={\color{Teal} {a_{11}}}{\color{Teal} {a_{22}}}{\color{Teal} {a_{33}}}+{\color{Magenta} {a_{12}}}{\color{Magenta} {a_{23}}}{\color{Magenta} {a_{31}}}+{\color{Orange} {a_{13}}}{\color{Orange} {a_{21}}}{\color{Orange} {a_{32}}}-{\color{Orange} {a_{13}}}{\color{Teal} {a_{22}}}{\color{Teal} {a_{31}}}-{\color{Magenta} {a_{11}}}{\color{Magenta} {a_{23}}}{\color{Magenta} {a_{32}}}-{\color{Orange} {a_{12}}}{\color{Orange} {a_{21}}}{\color{Teal} {a_{33}}} $ .