Již ze střední školy umíte řešit soustavy (systémy) dvou lineárních rovnic o dvou neznámých (viz úvod k maticím). Nyní budeme uvažovat o řešení obecné soustavy $ m $ lineárních rovnic.
Soustavou $ m $ lineárních rovnic o $ n $ neznámých $ x_1, x_2, \dots , x_n $ nazýváme soustavu rovnic
\( \begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \dots +a_{1n}x_n &=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \dots +a_{2n}x_n &=b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ \dots +a_{mn}x_n &=b_m \end{align*} \) (12).
Reálné číslo $ {\color{DarkBlue} {a_{ij}}} $ , $ i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, m,n \in \mathbb{N} $ nazýváme koeficient (v $ i $ -té rovnici u $ j $ -té neznámé), reálné číslo $ {\color{DarkBlue} {b_{i}}} $ nazýváme absolutní člen $ i $ -té rovnice.
Řešením soustavy rovnic (12) je každá uspořádaná n-tice reálných čísel $ {\color{DarkBlue} {(k_1,k_2, \dots,k_n)}} $ , která dané soustavě vyhovuje, tj. po dosazení čísel $ k_j $ za neznámé $ x_j $ ( $ j= 1, ..., n $ ) do všech rovnic soustavy jsou všechny tyto rovnice splněny.
Protože pro řešení soustav rovnic jsou podstatné pouze jednotlivé koeficienty, zavedeme následující definice, které nám umožní zapisovat soustavu (12) zjednodušeně.
Matici
$$ A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) $$ (13)Matici
$$ \overline{A}=\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array}\right) $$ (14)Označíme-li $ X=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) $ a $ B=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array}\right) $ , můžeme soustavu (12) zapsat zjednodušeně v maticovém tvaru \( {\color{DarkBlue} {AX=B}} \) (15).
(Frobeniova věta) Soustava $ m $ lineárních rovnic o $ n $ neznámých $ AX=B $ má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. \( h(A)=h(\overline{A}) \) (16).
Gaussova eliminační metoda
Řešení soustavy $ m $ lineárních rovnic o $ n $ neznámých pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody spočívá v tom, že soustavu rovnic nahrazujeme postupně jinými soustavami, které mají stejnou množinu řešení. Toto provádíme tak dlouho, dokud nedojdeme k soustavě, kterou umíme vyřešit. Při řešení postupujeme takto:
Zapíšeme rozšířenou matici zadané soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar.
Na základě Frobeniovy věty určíme, zda je soustava řešitelná a s pomocí následující věty určíme počet jejích řešení.
Soustava $ m $ lineárních rovnic o $ n $ neznámých $ AX=B $
nemá žádné řešení, pokud hodnost matice soustavy není rovna hodnosti rozšířené matice soustavy,
tj. pokud \( h(A) \neq h(\overline{A}) \) (17).
má právě jedno řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je rovna počtu neznámých,
tj. pokud \( h(A)=h(\overline{A})=n \) (18).
má nekonečně mnoho řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých,
tj. pokud \( h(A)=h(\overline{A}) < n \) (19).
Tato řešení lze vyjádřit pomocí $ n−h(A) $ tzv. volných neznámých - neznámých, za které můžeme volit libovolná čísla.
Pokud je soustava řešitelná (tj. pokud nastane jeden z případů b či c), vypočítáme postupně jednotlivé neznámé z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy.
Homogenní soustava rovnic má vždy řešení. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice $ x_1 = 0, x_2 = 0, \dots , x_n = 0 $ , tj. $ (x_1, x_2, \dots, x_n)=(0, 0, \dots, 0) $ je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení.
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo lze použít pro řešení soustavy $ n $ lineárních rovnic o $ n $ neznámých. Tj. takových soustav, v nichž je počet neznámých roven počtu zadaných rovnic. My si uvedeme toto pravidlo v zjednodušené podobě - pro soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.
(Cramerovo pravidlo) Nechť $ AX = B $ je soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých
\( \begin{align*} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z &=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z &=b_2 \\ a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z &=b_3 \end{align*} \) (20).
Nechť determinant matice této soustavy je různý od nuly, tj. $ |A| \neq 0 $ , $ |A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| $ .
Nechť $ A_j $ je matice, která vznikla z matice $ A $ nahrazením $ j $ -tého sloupce sloupcem absolutních členů rovnic, $ j=1,2,3 $ . Pro determinanty matic $ A_j $ tedy platí:
$ |A_1|=\left|\begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|, \quad |A_2|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & b_{1} & a_{13} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \end{array}\right|, \quad |A_3|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \end{array}\right| $ .
Pak soustava má jediné řešení $ (x,y,z) $ přičemž platí:
\( x=\frac{|A_1|}{|A|}, \quad y=\frac{|A_2|}{|A|}, \quad z=\frac{|A_3|}{|A|} \) (21).
Je-li $ |A| = 0 $ , pak tato soustavu buď nemá řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení.