Řešení:

Připomeňme, že násobení matic je definováno (podle (4)) pouze v případě, že první z matic má tolik sloupců, jako druhá řádků. V našem případě je součin definován a platí, že např. prvek na místě 1,1 v nové matici získáme vynásobením prvků 1. řádku matice $ A $ prvky 1. sloupce matice $ B $ - a tyto součiny sečteme:

$ \left(\begin{array}{cr} {\color{Red} 2} & {\color{Green} 1}\\ {\color{Orange} 3} & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cr} {\color{Blue} 1} & {\color{Teal} -1}\\ {\color{Magenta} 1} & 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cr} {\color{Red} 2}\cdot {\color{Blue} 1}+ {\color{Green} 1}\cdot {\color{Magenta} 1} & {\color{Red} 2}\cdot{\color{Teal} (-1)}+ {\color{Green} 1} \cdot 1 \\ {\color{Orange} 3} \cdot {\color{Blue} 1} + 2 \cdot {\color{Magenta} 1} & {\color{Orange} 3} \cdot {\color{Teal} (-1)} + 2 \cdot 1 \end{array}\right) = \underline {\underline {\left(\begin{array}{cr} 3 & -1\\ 5 & -1 \end{array}\right)}} $ .

Řešení:

Matice vynásobíme podle vzorce (4):

$ \left(\begin{array}{rrr} 1&2&3 \\ 2&4&6 \\ 3&6&9 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} -1&-2&-4 \\ -1&-2&-4 \\ 1&2&4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} -1-2+3 & -2-4+6 & -4-8+12 \\ -2-4+6 & -4-8+12 & -8-16+24 \\ -3-6+9 & -6-12+18 & -12-24+36 \end{array}\right) $

$ \underline {\underline {\left(\begin{array}{rrr} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array}\right)}} $ .

Výsledkem je tedy nulová matice.

Řešení:

Nejdříve vypočteme součiny matic (podle (4)):

$ AB = \left(\begin{array}{rrr} 1&2&1 \\ 2&1&2 \\ 1&2&3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 4&1&1 \\ -4&2&0 \\ 1&2&1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 4-8+1 & 1+4+2 & 1+0+1 \\ 8-4+2 & 2+2+4 & 2+0+2 \\ 4-8+3 & 1+4+6 & 1+0+3 \end{array}\right)= $

$ =\left(\begin{array}{rrr} -3&7&2 \\ 6&8&4 \\ -1&11&4 \end{array}\right) $

$ BA = \left(\begin{array}{rrr} 4&1&1 \\ -4&2&0 \\ 1&2&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr} 1&2&1 \\ 2&1&2 \\ 1&2&3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} 4+2+1 & 8+1+2 & 4+2+3 \\ -4+4+0 & -8+2+0 & -4+4+0 \\ 1+4+1 & 2+2+2 & 1+4+3 \end{array}\right)= $

$ =\left(\begin{array}{rrr} 7&11&9 \\ 0&-6&0 \\ 6&6&8 \end{array}\right) $ .

A nyní vypočtené matice odečteme (podle (3)):

$ AB - BA = \left(\begin{array}{rrr} -3&7&2 \\ 6&8&4 \\ -1&11&4 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{rrr} 7&11&9 \\ 0&-6&0 \\ 6&6&8 \end{array}\right) = $

$ \underline {\underline {\left(\begin{array}{rrr} -10&-4&-7 \\ 6&14&4 \\ -7&5&-4 \end{array}\right)}} $ .

Řešení:

Naším úkolem je najít funkční hodnotu zadané funkce $ f $ v  bodě $ A $ , přičemž tímto bodem je zadaná matice $ A $ . Funkční hodnotu v bodě zjistíme klasicky dosazením tohoto bodu do předpisu funkce, tj. dosazením $ x=A $ do $ f(x) $ . Místo čísla $ 3 $ zapíšeme do maticové rovnice $ 3E $ :

$ f(A)=AA-5A+3E $ .

Do získaného předpisu dosadíme zadanou matici $ A=\left(\begin{array}{rr} 2&-1 \\ -3&3 \end{array}\right) $ . Protože sčítání matic je (podle (3)) definováno jen pro matice stejného typu, musí být $ E $ řádu 2, tj. dosadíme $ E=\left(\begin{array}{rr} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right) $ :

$ f(A)=\left(\begin{array}{rr} 2&-1 \\ -3&3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 2&-1 \\ -3&3 \end{array}\right) -5\left(\begin{array}{rr} 2&-1 \\ -3&3 \end{array}\right)+3 \left(\begin{array}{rr} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right) $ .

Součin matic $ AA $ vypočítáme podle (4), součiny $ 5A $ a  $ 3E $ podle (2) a takto vypočtené matice sečteme resp. odečteme podle (3):

$ f(A)=\left(\begin{array}{rr} 7&-5 \\ -15&12 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{rr} 10&-5 \\ -15&15 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 3&0 \\ 0&3 \end{array}\right)=\underline{ \underline {\left(\begin{array}{cc} 0&0 \\ 0&0 \end{array}\right)}} $ .