Součinem matice $ A=(a_{ij}) $ s konstantou $ k \in \mathbb{R} $ nazveme matici $ C= (c_{ij}) $ , kde
\( c_{ij} = k \cdot a_{ij} \) (2).
Zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {C= kA}} $ .
Matici tedy vynásobíme konstantou tak, že každý její prvek vynásobíme danou konstantou:
$ 3 \left(\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 5 & -2\\ 3 & 6 & -1 & 1 \end{array}\right) $ = $ \left(\begin{array}{rrrr} 6 & 3 & 15 & -6\\ 9 & 18 & -3 & 3 \end{array}\right) $
Nechť $ A=(a_{ij}) $ , $ B=(b_{ij}) $ jsou matice téhož typu $ m/n $ . Součtem matic $ A $ a $ B $ nazveme matici $ C= (c_{ij}) $ , kde
\( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \) (3)
Zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {C= A+B}} $ .
Matice tedy sčítáme "po odpovídajících si prvcích":
$ \left(\begin{array}{rrr} {\color{Teal} 2} & {\color{Teal} {-1}} & {\color{Teal} 2} \\ {\color{Teal} 3} & {\color{Teal} 1} & {\color{Teal} {-2}} \\ {\color{Teal} 2} & {\color{Teal} 0} & {\color{Teal} 1} \end{array}\right) + \left(\begin{array}{rrr} {\color{Magenta} 1} & {\color{Magenta} {-2}} & {\color{Magenta} 1} \\ {\color{Magenta} 0} & {\color{Magenta} 1} & {\color{Magenta} 3} \\ {\color{Magenta} 2} & {\color{Magenta} 4} & {\color{Magenta} 1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rcr} {\color{Teal} 2}+{\color{Magenta} 1} & {\color{Teal} {-1}}+{\color{Magenta} {(-2)}} & {\color{Teal} 2}+{\color{Magenta} 1} \\ {\color{Teal} 3}+{\color{Magenta} 0} & {\color{Teal} 1}+{\color{Magenta} 1} & {\color{Teal} {-2}}+{\color{Magenta} 3} \\ {\color{Teal} 2}+{\color{Magenta} 2} & {\color{Teal} 0}+{\color{Magenta} 4} & {\color{Teal} 1}+{\color{Magenta} 1} \end{array}\right) = $
$ =\left(\begin{array}{rrr} 3 & -3 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 2 \end{array}\right) $ .
Pro sčítání matic a násobení matice konstantou platí asociativní, komutativní a distributivní zákon.
Nechť $ A=(a_{ij}) $ je matice typu $ m/{\color{Magenta} r} $ , $ B=(b_{ij}) $ je matice typu $ {\color{Magenta} r}/n $ . Součinem matic $ A $ a $ B $ (v tomto pořadí) nazveme matici $ C= (c_{ij}) $ typu typu $ m/n $ , kde
\( c_{ij}=a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \dots + a_{ir} \cdot b_{rj} = \sum \limits_{k=1}^{r} a_{ik} \cdot b_{kj} \) (4)
pro všechna $ i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n $ . Zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {C= AB}} $ (v tomto pořadí).
Násobení matic je definováno pouze v případě, že první matice v součinu má stejný počet sloupců ( $ r $ ) jako má druhá matice počet řádků. Při násobení matic je důležité jejich pořadí, obecně $ AB \neq BA $ . Navíc může nastat i situace, že součin $ AB $ je definovaný (matice jsou vhodného typu), zatímco součin $ BA $ vůbec definovaný není. Ale i v případě, kdy jsou oba součiny $ AB $ i $ BA $ definovány (tzn. $ A $ , $ B $ jsou čtvercové matice stejného řádu), neznamená to, že $ AB = BA $ .
Matice $ A $ a $ B $ podle (4) násobíme tak, že prvek $ c_{ij} $ , který je ve výsledné matici $ C $ umístěn na $ i $ -tém řádku a $ j $ -tém sloupci, dostaneme tak, že vezmeme $ i $ -tý řádek matice $ A $ a $ j $ -tý sloupec matice $ B $ , vynásobíme odpovídající si prvky v tomto řádku a sloupci a tyto součiny sečteme. Celý postup by měl být jasný z následujícího příkladu:
$ \left(\begin{array}{rrr} {\color{Magenta} 3} & {\color{Magenta} 0} & {\color{Magenta} 1} \\ {\color{Teal} 5} & {\color{Teal} 4} & {\color{Teal} 2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} {\color{Magenta} {-1}} & {\color{Teal} 3} & {\color{DarkOrange} 2} \\ {\color{Magenta} 1} & {\color{Teal} 1} & {\color{DarkOrange} 0} \\ {\color{Magenta} 3} & {\color{Teal} {-1}} & {\color{DarkOrange} 2} \end{array}\right)= $
$ = \left(\begin{array}{rrr} {\color{Magenta} 3}\cdot{\color{Magenta} {(-1)}}+{\color{Magenta} 0}\cdot{\color{Magenta} 1}+{\color{Magenta} 1}\cdot{\color{Magenta} 3} & {\color{Magenta} 3}\cdot{\color{Teal} 3} + {\color{Magenta} 0}\cdot{\color{Teal} 1} + {\color{Magenta} 1}\cdot{\color{Teal} {(-1)}} & {\color{Magenta} 3}\cdot{\color{DarkOrange} 2} + {\color{Magenta} 0}\cdot{\color{DarkOrange} 0} + {\color{Magenta} 1}\cdot{\color{DarkOrange} 2} \\ {\color{Teal} 5}\cdot{\color{Magenta} {(-1)}} + {\color{Teal} 4}\cdot{\color{Magenta} 1} + {\color{Teal} 2}\cdot{\color{Magenta} 3} & {\color{Teal} 5}\cdot{\color{Teal} 3} + {\color{Teal} 4}\cdot{\color{Teal} 1} + {\color{Teal} 2}\cdot{\color{Teal} {(-1)}} & {\color{Teal} 5}\cdot{\color{DarkOrange} 2} + {\color{Teal} 4}\cdot{\color{DarkOrange} 0} + {\color{Teal} 2}\cdot{\color{DarkOrange} 2} \end{array}\right)= $
$ =\left(\begin{array}{rrr} 0 & 8 & 8 \\ 5 & 17 & 14 \end{array}\right) $ .
Matice $ A=(a_{ij}) $ typu $ m/n $ a matice $ B=(b_{ij}) $ je matice typu $ p/q $ jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu (tj. $ m=p $ a $ n=q $ ) a jestliže jsou si rovny všechny odpovídající si prvky těchto matic, tj.
\( a_{ij}=b_{ij} \) (5) pro každé $ i $ , $ j $ .
Zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {A=B}} $ .
Matice $ A=\left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&4 \end{array}\right) $ je rovna matici $ B=\left(\begin{array}{rr} 1&2 \\ x&4 \end{array}\right) $ právě tehdy když x=3.