5. Hodnost matice
Určete hodnost matice $ A=\left(\begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & -5 & 2 & 3\\ 8 & 6 & -7 & 4 & 2\\ 4 & 3 & -8 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5 \\ 8 & 6 & -1 & 4 & -6 \end{array}\right) $ .
Řešení:
Zadanou matici převedeme do schodovitého tvaru. Toho dosáhneme např. tak, že první řádek matice opíšeme a zbývající řádky upravíme pomocí ekvivalentních úprav tak, abychom pod prvkem $ a_{11}=4 $ měli samé nuly. Vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 2. řádku, pak vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 3. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 4. řádku a nakonec vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 3. řádku:
$ \left(\begin{array}{rrrrr} {\color{Teal} 4} & 3 & -5 & 2 & 3\\ {\color{Magenta} 8} & 6 & -7 & 4 & 2\\ {\color{Magenta} 4} & 3 & -8 & 2 & 7 \\ {\color{Magenta} 4} & 3 & 1 & 2 & -5 \\ {\color{Magenta} 8} & 6 & -1 & 4 & -6 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrrrr} {\color{Teal} 4} & 3 & -5 & 2 & 3\\ {\color{Magenta} 0} & 0 & 3 & 0 & -4\\ {\color{Magenta} 0} & 0 & -3 & 0 & 4 \\ {\color{Magenta} 0} & 0 & 6 & 0 & -8 \\ {\color{Magenta} 0} & 0 & 9 & 0 & -12 \end{array}\right) $ .
Shodou okolností se nám objevily samé nuly i pod prvkem $ a_{22}=0 $ . Všechny řádky od druhého počínaje začínají dvěma nulami - 1. a 2. řádek opíšeme a pomocí ekvivalentních úprav se pokusíme získat samé nuly pod prvkem $ a_{23}=3 $ . Nejdříve 2. řádek přičteme k 3. řádku, dále 2. řádek vynásobíme číslem (-2) a přičteme k 4. řádku a nakonec 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme k 5. řádku:
$ \left(\begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & -5 & 2 & 3\\ 0 & 0 & {\color{Teal} 3} & 0 & -4\\ 0 & 0 & {\color{Magenta} {-3}} & 0 & 4 \\ 0 & 0 & {\color{Magenta} 6} & 0 & -8 \\ 0 & 0 & {\color{Magenta} 9} & 0 & -12 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & -5 & 2 & 3\\ 0 & 0 & {\color{Teal} 3} & 0 & -4\\ 0 & 0 & {\color{Magenta} 0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Magenta} 0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\color{Magenta} 0} & 0 & 0 \end{array}\right) $ .
Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva:
$ \underline { \underline{h(A)=2}} $ .
6. Hodnost matice
Určete hodnost matice $ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 4 & 10 & 1 \\ 4 & 8 & 18 & 7 \\ 10 & 18 & 40 & 17 \\ 1 & 7 & 17 & 3 \end{array}\right) $ .
Řešení:
Zadanou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav do schodovitého tvaru. První řádek začíná nulou - bude vhodnější ho umístit jako 2. řádek. Jako první řádek bude nejvýhodnější umístit 4. řádek začínající číslem 1 - jeho násobením čísly (-4) a (-10) a přičítáním k 2. a 3. řádku snadno vytvoříme samé nuly pod prvkem $ a_{11} $ :
$ \left(\begin{array}{cccc} 0 & 4 & 10 & 1 \\ 4 & 8 & 18 & 7 \\ 10 & 18 & 40 & 17 \\ 1 & 7 & 17 & 3 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{crrr} {\color{Teal} 1} & 7 & 17 & 3 \\ {\color{Magenta} 0} & 4 & 10 & 1 \\ {\color{Magenta} 0} & -20 & -50 & -5 \\ {\color{Magenta} 0} & -52 & -130 & -13 \end{array}\right) $ .
3. a 4. řádek matice zjednodušíme, aby se nám s nimi lépe počítalo. 3. řádek vydělíme číslem 4, 4. řádek vydělíme číslem 13:
$ \left(\begin{array}{crrr} 1 & 7 & 17 & 3 \\ 0 & 4 & 10 & 1 \\ 0 & -20 & -50 & -5 \\ 0 & -52 & -130 & -13 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{crrr} 1 & 7 & 17 & 3 \\ 0 & 4 & 10 & 1 \\ 0 & -4 & -10 & -1 \\ 0 & -4 & -10 & -1 \end{array}\right) $ .
Nyní vytvoříme samé nuly i pod prvkem $ a_{22}=4 $ - stačí 1. a 2. řádek opsat a 2. řádek přičíst k 3. a 4. řádku:
$ \left(\begin{array}{crrr} 1 & 7 & 17 & 3 \\ 0 & {\color{Teal} 4} & 10 & 1 \\ 0 & {\color{Magenta} {-4}} & -10 & -1 \\ 0 & {\color{Magenta} {-4}} & -10 & -1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{crrr} 1 & 7 & 17 & 3 \\ 0 & {\color{Teal} 4} & 10 & 1 \\ 0 & {\color{Magenta} 0} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{Magenta} 0} & 0 & 0 \end{array}\right) $ .
Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva:
$ \underline { \underline{h(A)=2}} $ .