10. Nehomogenní soustavy lineárních rovnic
Řešte nehomogenní soustavu lineárních rovnic:
$ \begin{array}{rcrcrcr} 2x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 2\\ x_{1} & + & 3x_{2} & + & x_{3} & = & 5\\ x_{1} & + & x_{2} & + & 5x_{3} & = & -7\\ 2x_{1} & + & 3x_{2} & - & 3x_{3} & = & 14 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcr} x_{1} & - & 2x_{2} & + & 2x_{3} & = & -9\\ 3x_{1} & + & 5x_{2} & + & 4x_{3} & = & 10\\ 5x_{1} & + & 12x_{2} & + & 6x_{3} & = & 29 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcr} 3x_{1} & + & 2x_{2} & & & = & 12\\ 5x_{1} & + & 4x_{2} & + & x_{3} & = & 27\\ x_{1} & + & 2x_{2} & + & 5x_{3} & = & 33 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} x_{1} & - & 3x_{2} & - & 4x_{3} & - & 2x_{4} & = & -3\\ 2x_{1} & - & 2x_{2} & - & 2x_{3} & - & x_{4} & = & 0\\ 2x_{1} & - & 3x_{2} & - & 3x_{3} & - & 2x_{4} & = & -1\\ 3x_{1} & - & 4x_{2} & - & 3x_{3} & - & 2x_{4} & = & 2 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 2x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & + & x_{4} & = & 2\\ 2x_{1} & - & x_{2} & + & 2x_{3} & & & = & 2\\ 3x_{1} & & & + & x_{3} & - & x_{4} & = & 2\\ 2x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & & & = & 1 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 3x_{1} & - & 5x_{2} & + & 2x_{3} & + & 4x_{4} & = & 2\\ 7x_{1} & - & 4x_{2} & + & x_{3} & + & 3x_{4} & = & 5\\ 5x_{1} & + & 7x_{2} & - & 4x_{3} & - & 6x_{4} & = & 3 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 2x_{1} & - & x_{2} & + & x_{3} & - & 2x_{4} & = & -2\\ -3x_{1} & - & 2x_{2} & + & 2x_{3} & - & 2x_{4} & = & -18\\ x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & + & 2x_{4} & = & 8\\ -2x_{1} & - & x_{2} & + & x_{3} & & & = & -10 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 2x_{1} & - & x_{2} & - & x_{3} & + & 3x_{4} & = & 1\\ 2x_{1} & - & x_{2} & + & 2x_{3} & - & 12x_{4} & = & 10\\ 4x_{1} & - & 3x_{2} & - & x_{3} & + & x_{4} & = & 5\\ 6x_{1} & - & 3x_{2} & - & x_{3} & - & x_{4} & = & 9 \end{array} $ .
Řešení:
$ x_{1}=1, $ $ x_{2}=2, $ $ x_{3}=-2 $
$ x_{1}=-\frac{25+18t}{11} $ , $ x_{2}=\frac{37+2t}{11} $ , $ x_{3}=t $ kde $ t\in\mathbb{R} $
$ x_{1}=2 $ , $ x_{2}=3 $ , $ x_{3}=5 $
$ x_{1}=0 $ , $ x_{2}=-3 $ , $ x_{3}=2 $ , $ x_{4}=2 $
$ x_{1}=0 $ , $ x_{2}=4 $ , $ x_{3}=3 $ , $ x_{4}=1 $
soustava nemá řešení
$ x_{1}=2 $ , $ x_{2}=6+t $ , $ x_{3}=t $ , $ x_{4}=0 $ , kde $ t \in\mathbb{R} $
$ x_{1}=2+t $ , $ x_{2}=0 $ , $ x_{3}=3+5t $ , $ x_{4}=t $ , kde $ t\in\mathbb{R} $
11. Homogenní soustavy lineárních rovnic
Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic:
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & 2x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & 3x_{2} & + & 6x_{3} & + & 10x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & 4x_{2} & + & 10x_{3} & + & 20x_{4} & = & 0 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcr} x_{1} & + & 2x_{2} & + & 3x_{3} & + & 4x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & x_{2} & + & 2x_{3} & + & 3x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & 5x_{2} & + & x_{3} & + & 2x_{4} & = & 0\\ x_{1} & + & 5x_{2} & + & 5x_{3} & + & 2x_{4} & = & 0 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} x_{1} & - & 2x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & - & x_{5} & = & 0\\ 2x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & - & x_{4} & + & x_{5} & = & 0\\ x_{1} & + & 7x_{2} & - & 5x_{3} & - & 5x_{4} & + & 5x_{5} & = & 0\\ 3x_{1} & - & x_{2} & - & 2x_{3} & + & x_{4} & - & x_{5} & = & 0 \end{array} $ .
Řešení:
$ x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 $
$ x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 $
$ x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 $ , $ x_{4}=x_{5}=t $ , kde $ t\in\mathbb{R} $
12. Cramerovo pravidlo
Za využití Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic:
$ \begin{array}{rcrcrcr} 2x_{1} & + & 3x_{2} & + & 2x_{3} & = & 9\\ x_{1} & + & 2x_{2} & - & 3x_{3} & = & 14\\ 3x_{1} & + & 4x_{2} & + & x_{3} & = & 16 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcr} x_{1} & + & x_{2} & - & x_{3} & = & -2\\ x_{1} & - & 4x_{2} & + & 2x_{3} & = & -1\\ x_{1} & - & x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{array} $ ,
$ \begin{array}{rcrcrcr} 2x_{1} & + & 5x_{2} & - & 2x_{3} & = & 4\\ 2x_{1} & + & x_{2} & & & = & 2\\ 3x_{1} & - & x_{2} & + & 4x_{3} & = & -1 \end{array} $ .
Řešení:
$ x_{1}=2 $ , $ x_{2}=3 $ , $ x_{3}=-2 $
$ x_{1}=-1 $ , $ x_{2}=1 $ , $ x_{3}=2 $
$ x_{1}=1 $ , $ x_{2}=0 $ , $ x_{3}=-1 $