MA0003 Algebra 1

Pedagogická fakulta
jaro 2020
Rozsah
2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Petra Antošová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Irena Budínová, Ph.D. (cvičící)
Garance
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Rozvrh
Út 14:00–15:50 učebna 1
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MA0003/01: Po 8:00–9:50 učebna 37, I. Budínová
MA0003/02: Čt 12:00–13:50 učebna 35, P. Antošová
MA0003/03: Čt 14:00–15:50 učebna 42, P. Antošová
Předpoklady
Předmět je zaměřen na získání základních znalostí a vědomostí z teorie binárních algebraických operací, algebraických struktur a jejich vlastností. PŘEDPOKLADEM PŘEDMĚTU JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTU "ZÁKLADY MATEMATIKY" (MA0001).
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Na konci kurzu bude student schopen porozumět a vysvětlit základní pojmy a znalosti a řešit úlohy a problémy z následujících tématických okruhů:
a) Binární algebraická operace v množině, její vlastnosti.
b) Algebraické struktury se dvěma operacemi, jejich vlastnosti.
c) Řešení algebraických rovnic (polynomických rovnic).
d) Počítání mocniny a odmocniny v komplexním oboru, počítání s komplexními čísly.
Výstupy z učení
Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii aritmetických operací, jako je sčítání, násobení, průnik, sjednocení, sečítání a násobení zbytkových tříd celých čísel; b) mít dovednosti při řešení algebraických rovnic v různých částech matematiky; c) znát důkazové metody a metody matematického usuzování pro některé vlastnosti matematických operací; d) schopni výpočtů s komplexními čísly, včetně výpočtu mocniny a odmocniny z komplexního čísla.
Osnova
  • Osnova přednášky a cvičení:
  • Cvičení 1: Axiomy číselných operací, základní vlastnosti operací na množině, pologrupy, grupy (včetně definic). Viz cvičení 1.1 elektronického textu Algebra 1.
  • Cvičení 2: Určování algebraických vlastností operací, určování charakteru struktury s jednou operací. Viz cvičení 1.2.
  • Přednáška 1: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy.
  • Přednáška 2: Nekomutativní grupy.
  • Cvičení 3: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy.
  • Přednáška 3: Izomorfismus, Cayleyho věta (včetně cvičení).
  • Cvičení 4: Nekomutativní grupy.
  • Přednáška 4: Lagrangeova věta, homomorfismus grup (včetně cvičení).
  • Cvičení 5: Řád prvku, cyklické grupy. Relace kongruence, grupy zbytkových tříd modulo n. Příprava na prověrku v následujícím týdnu.
  • Přednáška 5: Normální=invariantní podgrupa, faktorgrupa (kapitola 9 včetně cvičení). Zmínka o zbytkových třídách ještě jednou (o korektnosti definované operace).
  • Cvičení 6: prověrka-a z toho, co se probralo.
  • Přednáška 6: Struktury se dvěma operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa.
  • Cvičení 7: Polynomy 01. Rozklad polynomu na součin polynomů prvního stupně, kořen polynomu, Hornerovo schéma, největší společný dělitel polynomů.
  • Přednáška 7: Struktury se dvěma operacemi: analogie Cayleyho věty, analogie Lagrangeovy věty, analogie věty o homomorfismu, analogie dobře definované operace na faktorgrupě. Věta o rozšíření těles.
  • Cvičení 8: Polynomy 02. Věta o hledání racionálních kořenů polynomu s celočíselnými koeficienty. Ostranění násobných kořenů polynomu.
  • Přednáška 8: Polynomy -- přehled algebraických metod hledání kořenů polynomu.
  • Cvičení 9: Polynomy 03. Hledání iracionálních kořenů polynomu numerickými metodami: metoda půlení intervalu, Newtonova metoda.
  • Přednáška 9: Polynomy -- přehled numerických metod hledání kořene polynomu (včetně iracionálního a komplexního, využití jazyka R).
  • Cvičení 10: Komplexní čísla 01: operace s komplexními čísly, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, geometrický význam násobení a dělení komplexních čísel.
  • Přednáška 10: Definice vektorového prostoru, báze a dimenze. Stupeň rozšíření těles, algebraický důkaz nemožnosti trisekce úhlu a bisekce krychle.
  • Cvičení 11: Komplexní čísla 02: n-tá mocnina a n-tá odmocnina z komplexního čísla, řešení binomických rovnic.
  • Přednáška 11: Konstrukce a vlastnosti množin N,Z.
  • Cvičení 12: prověrka-b na polynomy a komplexní čísla.
  • Přednáška 12: Konstrukce a vlastnosti množin Q,R,C.
Literatura
    doporučená literatura
  • PINTER, Charles C. A book of abstract algebra. Second edition. Mineola, New York: Dover Publications, 2010, xiv, 384. ISBN 9780486474175. info
    neurčeno
  • HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1998, 221 s. ISBN 8021018534. info
Výukové metody
Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (1. ročník vysokoškolského studia).
Metody hodnocení
Zkouška bude sestávat z několika záchytných bodů, které všechny musí student splnit na jisté úrovni (a všechny budou započítány do výsledné známky): a) dvě prověrky ze cvičení; minimální úspěšnost: 60 procent. b) písemná část závěrečné zkoušky; minimální úspěšnost: 50 procent.
Informace učitele
Použitá literatura:
Charles C. Pinter: The Book of Abstract Algebra. Dover Publications 2010, reprint of the second edition from 1990.
Horák, P. (1998) Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. (ISBN 80-210-1853-4). Brno: MU.
Budínová,I.: Polynomy. Elektronický text pro studenty pedagogické fakulty, 2013.
Robová, Hála, Calda (2013): Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. Prometheus, edice Matematika pro SŠ.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2018, jaro 2019, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.