PdF:MA0003 Algebra 1 - Informace o předmětu
MA0003 Algebra 1
Pedagogická fakultajaro 2022
- Rozsah
- 2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
- Vyučující
- doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (přednášející)
RNDr. Petra Antošová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Irena Budínová, Ph.D. (cvičící) - Garance
- doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta - Rozvrh
- Po 15:00–16:50 učebna 30
- Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MA0003/02: Čt 11:00–12:50 učebna 50, B. Fajmon
MA0003/03: Út 16:00–17:50 učebna 24, P. Antošová - Předpoklady
- Předmět je zaměřen na získání základních znalostí a vědomostí z teorie binárních algebraických operací, algebraických struktur a jejich morfismů. Nedílnou součástí je seznámení s teorií cyklických grup a faktorových struktur. PŘEDPOKLADEM PŘEDMĚTU JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTU "ZÁKLADY MATEMATIKY" (MA0001).
- Omezení zápisu do předmětu
- Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
- Mateřské obory/plány
- Matematika se zaměřením na vzdělávání (program PdF, B-MA3S) (2)
- Matematika se zaměřením na vzdělávání (program PdF, B-SPE)
- Cíle předmětu
- Na konci kurzu bude student schopen porozumět a vysvětlit základní pojmy a znalosti a řešit úlohy a problémy z následujících tématických okruhů: Binární algebraická operace v množině, vlastnosti operací. Algebraické struktury s jednou operací, jejich podstruktury a homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma operacemi, jejich podstruktury a homomorfismy. Cyklické grupy. Faktorové struktury (vytvořující rozklad, rozklad podle podgrupy, invariantní podgrupa, faktorgrupa, rozklad podle ideálu, faktorokruh). Speciálně dovednost nalézt kořeny polynomu, počítat s komplexními čísly (včetně počítání n-té mocniny a n-té odmocniny z komplexního čísla).
- Výstupy z učení
- Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii aritmetických operací, jako je sčítání, násobení, průnik, sjednocení, sečítání a násobení zbytkových tříd celých čísel; b) mít dovednosti při řešení algebraických rovnic v různých částech matematiky; c) znát důkazové metody a metody matematického usuzování pro některé vlastnosti matematických operací; d) schopni výpočtů s komplexními čísly, včetně výpočtu mocniny a odmocniny z komplexního čísla.
- Osnova
- Osnova přednášky a cvičení:
- Cvičení 1: Axiomy číselných operací, základní vlastnosti operací na množině, pologrupy, grupy (včetně definic). Viz kapitola 1 elektronického textu.
- Přednáška 1: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy. (viz kapitoly 2,3 elektronického textu - přednáška).
- Cvičení 2: Určování algebraických vlastností operací, určování charakteru struktury s jednou operací. Viz cvičení za kapitolou 1 textu.
- Přednáška 2: Nekomutativní grupy (kapitola 4 - přednáška)
- Cvičení 3: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy -- cvičení za kapitolami 2,3.
- Přednáška 3: Izomorfismus, Cayleyho věta (kapitola 5, včetně cvičení).
- Cvičení 4: Nekomutativní grupy -- cvičení za kapitolou 4.
- Přednáška 4: Lagrangeova věta, homomorfismus grup (kapitoly 7,8)
- Cvičení 5: Řád prvku, cyklické grupy (kapitola 6 celá, přednáška i cvičení). Relace kongruence, grupy zbytkových tříd modulo n. Příprava na prověrku v následujícím týdnu.
- Přednáška 5: Normální=invariantní podgrupa, faktorgrupa (kapitola 9 včetně cvičení). Zmínka o zbytkových třídách ještě jednou (o korektnosti definované operace).
- Cvičení 6: prověrka-a z toho, co se probralo.
- Přednáška 6: Struktury se dvěma operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa.
- Cvičení 7: Polynomy 01. Rozklad polynomu na součin polynomů prvního stupně, kořen polynomu, Hornerovo schéma, znaménkové změny, věta o racionálních kořenech polynomu s celočíselnými koeficienty.
- Přednáška 7: Struktury se dvěma operacemi: analogie Cayleyho věty, analogie Lagrangeovy věty, analogie věty o homomorfismu, analogie dobře definované operace na faktorgrupě. Věta o rozšíření těles.
- Cvičení 8: Polynomy 02. NSD pomocí rozkladu i pomocí Eukleidova algoritmu. Odstranění násobných kořenů polynomu.
- Přednáška 8: Polynomy -- přehled algebraických metod hledání kořenů polynomu.
- Cvičení 9: Polynomy 03. Hledání iracionálních kořenů polynomu numerickými metodami: metoda půlení intervalu, Newtonova metoda.
- Přednáška 9: Polynomy -- přehled numerických metod hledání kořene polynomu (včetně iracionálního a komplexního, využití jazyka R).
- Cvičení 10: Komplexní čísla 01: operace s komplexními čísly, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, geometrický význam násobení a dělení komplexních čísel.
- Přednáška 10: Definice vektorového prostoru, báze a dimenze. Stupeň rozšíření těles, algebraický důkaz nemožnosti trisekce úhlu a bisekce krychle.
- Cvičení 11: Komplexní čísla 02: n-tá mocnina a n-tá odmocnina z komplexního čísla, řešení binomických rovnic.
- Přednáška 11: Galoisova teorie -- pokus o začátek přehledu.
- Cvičení 12: prověrka-b na polynomy a komplexní čísla.
- Přednáška 12: Galoisova teorie -- pokus o hlavní krok.
- Literatura
- Výukové metody
- Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (1. ročník vysokoškolského studia).
- Metody hodnocení
- Zkouška bude sestávat z několika záchytných bodů, které všechny musí student splnit na jisté úrovni: a) písemka ze cvičení - jedna nebo dvě písemky; b) teoretická část - prověrky v průběhu semestru; c) závěrečná písemná část zkoušky
- Informace učitele
- Použitá literatura:
Charles C. Pinter: The Book of Abstract Algebra. Dover Publications 2010, reprint of the second edition from 1990.
Horák, P. (1998) Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. (ISBN 80-210-1853-4). Brno: MU.
Horák, P. (2013) M1125 Základy matematiky - učební text Přírodovědecké fakulty MU (dostupný na internetu). - Další komentáře
- Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
- Statistika zápisu (jaro 2022, nejnovější)
- Permalink: https://is.muni.cz/predmet/ped/jaro2022/MA0003