MA0005 Algebra 2

Pedagogická fakulta
podzim 2019
Rozsah
2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
Mgr. Helena Durnová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Lukáš Másilko (cvičící)
Garance
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Rozvrh
Po 18:00–19:50 učebna 1
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MA0005/01: Po 14:00–15:50 učebna 7, B. Fajmon
MA0005/02: Čt 8:00–9:50 učebna 24, B. Fajmon
MA0005/03: Čt 14:00–15:50 učebna 41, L. Másilko
Předpoklady
Předmět je zaměřen na systematické osvojování základních pojmů z teorie vektorových prostorů a eukleidovských prostorů, lineární algebry včetně lineárního a ortogonálního zobrazení. Dále je předmět zaměřen na aktivní využívání osvojených pojmů při řešení úloh, v dalším studiu matematiky na PdF i při výuce matematiky na školách. PŘEDPOKLADY JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTŮ "ZÁKLADY MATEMATIKY" a "ALGEBRA 1".
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem předmětu je aktivní osvojení základních znalostí z teorie vektorových a euklidovských prostorů a lineární algebry. Po absolvování předmětu bude student znát a bude schopen vysvětlit základní pojmy z následujících tematických celků: Vektorové prostory, matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic a jejich řešení, euklidovské prostory, lineární a ortogonální zobrazení. Všechny osvojené pojmy a znalosti bude student umět aktivně využívat při řešení matematických úloh a problémů, dále bude schopen aplikovat získané znalosti v souvislostech s dalšími tematickými celky vyšší matematiky.
Výstupy z učení
Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii vektorových prostorů (báze, dimenze, množina generátorů podprostoru); b) mít dovednosti při práci s maticemi (výpočet determinantu čtvercové matice, řešení systému lineárních rovnic, práce s transformací soustavy souřadnic a vektorovým a skalárním součinem vektorů); c) znát matematické označení v oblasti vektorových prostorů a matic; d) budou mít zopakovány některé partie analytické geometrie.
Osnova
  • 1. Definice vektorového prostoru a jeho podprostory.
  • 2. Lineární závislost a nezávislost vektorů, lineární obal ve vektorovém prostoru.
  • 3. Báze a dimenze vektorového prostoru.
  • 4. Pořadí a permutace, pojem determinantu.
  • 5. Výpočet determinantu, Sarussovo pravidlo, Laplaceova věta.
  • 6. Matice a operace s nimi. Určení inverzní matice.
  • 7. Soustavy lineárních rovnic, Cramerovo pravidlo, Jordanova metoda.
  • 8. Homogenní soustavy lineárních rovnic.
  • 9. Skalární součin, euklidovské prostory. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces.
  • 10. Lineární zobrazení a lineární transformace, matice lineární transformace.
  • 11. Vlastní hodnoty a vlastní vektory lineární transformace. Užití lineárních transformací.
  • 12. Ortogonální zobrazení a ortogonální transformace.
Literatura
    doporučená literatura
  • ŠIMSOVÁ, Jana. Sbírka úloh z matematiky : lineární algebra. 2. vyd.. Ústí nad Labem: Univerzita Jana Evangelisty Purkyně, 2009, 101 s. ISBN 9788074141843. info
  • HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2006, 221 s. ISBN 8021039701. info
    neurčeno
  • BICAN, Ladislav. Lineární algebra. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1979, 331 s. info
Výukové metody
Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (2. ročník vysokoškolského studia).
Metody hodnocení
Průběžné testy v rámci seminářů. Zkouška písemná a ústní.
Informace učitele
Sylabus seminářů (=cvičení):
1. Definice vektorového prostoru a jeho podprostory, příklady.
2. Řešení úloh na lineární závislost a nezávislost vektorů, lineární kombinace vektorů.
3. Určování báze dimenze vektorového prostoru, Steinitzova věta o výměně.
4. Pořadí a permutace, výpočet determinantů řádu 2 a 3.
5. Rozvoj determinantů podle Laplaceovy věty. Užití determinantů.
6. Operace s maticemi (zejména násobení). Adjungovaná matice, určení inverzní matice.
7. Řešení soustav lineárních rovnic, Frobeniova věta.
8. Homogenní soustavy lineárních rovnic. Řešení příkladů, určování podprostorů řešení těchto soustav.
9. Skalární součin, příklady. Vzdálenosti a odchylky podprostorů euklidovského prostoru. Gramm-Schmidtův ortogonalizační proces.
10. Lineární zobrazení a lineární transformace a jejich klasifikace, výpočet matice lineární transformace.
11. Vlastní hodnoty a vlastní vektory lineární transformace a jejich praktický výpočet. Užití lineárních transformací.
12. Ortogonální zobrazení a ortogonální transformace. Určování ortogonálního doplňku podprostoru, ortogonální matice.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2018, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.