FB210 Matematické základy fyzikálních variačních teorií

Přírodovědecká fakulta
podzim 2024
Rozsah
2/1/0. 2 kr. (plus ukončení). Ukončení: k.
Vyučující
Mgr. Michael Krbek, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Pá 16:00–18:50 F3,03015
Předpoklady
diferenciální a integrální počet funkcí jedné a více proměnných, základy multilineární algebry (tenzory), diferenciální formy na euklidovských prostorech
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Geometrickým podkladem fyzikálních variačních teorií jsou fibrované variety. Pro mechaniku se jedná o fibrované variety s jednorozměrnou bází (čas), v případě teorií pole je báze vícerozměrná (nejčastěji čtyřrozměrný prostoročas). Výklad základních pojmů a tvrzení z geometrie fibrovaných variet, diferenciálních forem na fibrovaných varietách, formulace variačních úloh a důkazy základních formulí variačních teorií umožní studentům orientovat se korektním způsobem v matematické problematice variačních teorií. Součástí výkladu je i problematika variační posloupnosti a jejího využití pro pochopení variačnosti pohybových rovnic a triviálního variačního problému.
Výstupy z učení
Absolvováním předmětu získají studenti následující dovednosti

* Porozumění základním problémům variačního počtu na fibrovaných varietách a souvislosti obecné teorie s fyzikálními variačními teoriemi.
* Dovednost praktického počítání s jety, fibrovanými varietami a jejich jetovými prodlouženími, fibrovanými souřadnicovými systémy a systémy s nimi asociovanými.
* Dovednost praktického počítání s vektorovými poli, jejich prodlouženími, s diferenciálními formami na fibrovaných varietách.
* Dovednost praktické formulace variačních problémů, zejména fyzikálních, odvození pohybových rovnic.
* Praktické použití variační posloupnosti pro řešení triviálního variačního problému a problému variačnosti pohybových rovnic.
Osnova
  • 1. Základní informace o jetech.
  • Fibrované variety a jejich jetová prodloužení, řezy na fibrovaných varietách.
  • 3. Vektorová pole a diferenciální formy na fibrovaných varietách a jejich prodlouženích.
  • 4. Horizontální a kontaktní formy.
  • 5. Základní operace s diferenciálními formami.
  • 6. Lagrangián, variační integrál a variační formule.
  • 7. Pohybové rovnice, Eulerova-Lagrangeova forma.
  • 8. Variační posloupnost na fibrovaných varietách.
  • 9. Reprezentace variační posloupnosti, Eulerovo-Lagrangeovo a Helmholtzovo-Soninovo zobrazení.
  • 10. Lepageovy formy, Lepageovy ekvivalenty.
  • 11. Triviální variační problém.
  • 12. Variačnost pohybových rovnic.
  • 13. Aplikace, příklady, mechanika.
Literatura
    povinná literatura
  • MUSILOVÁ, Jana a Pavla MUSILOVÁ. Matematika : pro porozumění i praxi : netradiční výklad tradičních témat vysokoškolské matematiky. První vydání. Brno: VUTIUM, 2017, ix, 367-79. ISBN 9788021455030. info
    doporučená literatura
  • KRUPKA, Demeter a David SAUNDERS. Handbook of Global Analysis. 1. vyd. Nizozemí: Elsevier, 2008, 1244 s. ISBN 04-4452-833-4. info
Výukové metody
přednáška a cvičení
Metody hodnocení
Typ výuky: přednáška a cvičení. Závěrečné hodnocení: kolokvium (rozprava). Průběžné požadavky: Zpracování dvou příkladů nebo důkazů během semestru. Povinnost navštěvovat cvičení (75 %).
Informace učitele
Neúčast ve cvičení lze kompenzovat po domluvě s vyučujícími vypracováním náhradních úkolů.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
L.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2010, podzim 2011 - akreditace.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/podzim2024/FB210