M4170 Míra a integrál

Přírodovědecká fakulta
jaro 2008
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Ladislav Adamec, CSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Bedřich Půža, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 15:00–16:50 U1
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M4170/01: Po 17:00–18:50 U1
Předpoklady
M3100 Matem. analýza III
Diferenciální počet funkcí více proměnných. Metrické prostory.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Teorie míry a integrálu náleží k základnímu kurzu matematické analýzy jako základ nezbytný pro další studium jak samotné matematické analýzy, tak jejích aplikací např. v teorii diferenciálních rovnic, variačního počtu a v teorii pravděpodobnosti. Vedle základů teorie míry a metod abstraktní integrace na měřitelných prostorech obsahuje i teorii Lebesgueova integrálu v Rn.
Osnova
  • 1) Základní pojmy teorie míry: sigma-algebra, borelovské množiny, míra, měřitelné množiny.
  • 2) Konstrukce měr: Vnější míra.
  • 3) Lebesgueova míra v Rn: Vnější Lebesgueova míra v Rn, lebesgueovsky měřitelné množiny.
  • 4) Měřitelné funkce: Měřitelný prostor, měřitelné funkce.
  • 5) Abstraktní Lebesgueův integrál: Zavedení Lebesgueova integrálu pomocí jednoduchých funkcí a jeho základní vlastnosti, vety o limitních přechodech, prostory Lp.
  • 6) Lebesgueův integrál v Rn: Zavedení, vztah k Riemanovu integrálu, Lebesgueova věta o integrabilitě v Riemanově smyslu.
  • 7) Fubiniova věta.
  • 8) Věta o substituci.
  • 9) Integrály závislé na parametru: Vety o spojitosti, derivaci a jejich aplikace na výpočet určitých integrálů, nevlastní Lebesgueův integrál v Rn,funkce G a B.
Literatura
  • KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič a Sergej Vasil‘jevič FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Translated by Vladimír Doležal - Zdeněk Tichý. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975, 581 s. info
  • RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru. 1. vyd. Praha: Academia, 1977, 463 s. URL info
  • SIKORSKI, Roman. Diferenciální a integrální počet : funkce více proměnných. Translated by Ilja Černý. 2., změn. a dopl. vyd., Vyd. Praha: Academia, 1973, 495 s. URL info
Metody hodnocení
Podoba závěrečného hodnocení:písemná zkouška následovaná ústní zkouškou
Informace učitele
Požadavky ke zkoušce: Zkouška probíhá jako "písemná zkouška" následovaná "ústní zkouškou". Rozsah je dán "osnovou". K výbornému zvládnutí zkoušky je nutno umět všechny důkazy kromě těch, kde bylo výslovně uvedeno jinak.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020.