M4170 Míra a integrál

Přírodovědecká fakulta
jaro 2013
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Út 8:00–9:50 M2,01021
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M4170/01: Út 10:00–11:50 M2,01021
Předpoklady
M3100 Matem. analýza III
Diferenciální počet funkcí více proměnných. Metrické prostory.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je otevřen studentům libovolného oboru.
Cíle předmětu
Teorie míry a integrálu náleží k základnímu kurzu matematické analýzy. Cílem kurzu je pochopit abstraktní teorii míry a mírou definovaný abstraktní integrál. Ve speciálním případě se pak dostane Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál.

Student po absolvování kurzu
- bude rozumět Caratheodoryho konstrukci měřitelných množin a míry,
- bude rozumět konstrukci abstraktního integrálu podle míry,
- pochopí konstrukci Lebesgueovy míry a Lebesgueova integálu v Rn,
- bude schopen vysvětlit rozdíl mezi Lebesgueovým a Riemannovým integrálem,
- porozumí teorii integrování v součinových prostorech,
- bude schopen analyzovat chování funkcí zadaných jako integrál závislý na parametru,
- bude připraven na aplikace teorie míry a integrálu v diferenciálních rovnicích, variačním počtu a teorii pravděpodobnosti.
Osnova
  • 1. Základní pojmy teorie míry: sigma-algebra, borelovské množiny, míra, měřitelné množiny.
  • 2. Vnější míra a Caratheodoryho konstrukce míry.
  • 3. Lebesgueova míra v Rn.
  • 4. Měřitelné funkce.
  • 5. Abstraktní integrál podle míry, jeho základní vlastnosti, věty o limitních přechodech.
  • 6. Lebesgueův integrál v Rn, srovnání Lebesgueova a Riemanova integrálu.
  • 7. Součin měr, integrace v součinových prostorech, Tonelliho a Fubiniova věta.
  • 8. Věta o substituci.
  • 9. Integrály závislé na parametru: věty o spojitosti, derivaci a jejich aplikace na výpočet určitých integrálů,
  • 10. Nevlastní Lebesgueův integrál v Rn, funkce Gamma a Beta.
Literatura
  • RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru. Vyd. 2., přeprac. Praha: Academia, 2003, 460 s. ISBN 8020011250. info
  • KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič a Sergej Vasil‘jevič FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Translated by Vladimír Doležal - Zdeněk Tichý. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975, 581 s. info
  • SIKORSKI, Roman. Diferenciální a integrální počet : funkce více proměnných. Translated by Ilja Černý. 2., změn. a dopl. vyd., Vyd. Praha: Academia, 1973, 495 s. URL info
  • LUKEŠ, Jaroslav a Jan MALÝ. Míra a integrál. 2. vyd. Praha: Karolinum, 2002, 179 s. ISBN 8024605430. info
  • NAGY, Jozef, Milan VACEK a Eva NOVÁKOVÁ. Lebesgueova míra a integrál. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1985, 151 s. URL info
Výukové metody
Dvouhodinová přednáška a hodinové cvičení.
Metody hodnocení
Písemná závěrečná zkouška kombinovaná s ústní zkouškou. Výsledky cvičení se částečně přenášejí do hodnocení zkoušky. Písemná i ústní část obsahuje i teoretické otázky k důkazům. Cílem je prokázat pochopení základních pojmů, jejich vzájemných vztahů a celkových souvislostí v teorii míry a integrálu.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020.