F5066 Funkce komplexní proměnné

Přírodovědecká fakulta
jaro 2013
Rozsah
2/2/0. 4 kr. Ukončení: z.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Dušan Hemzal, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Dodavatelské pracoviště: Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 17:00–18:50 F2 6/2012, St 11:00–12:50 F4,03017
Předpoklady
Základy analýzy v reálném oboru
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Předmět je součástí základního kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Jeho základní cíle jsou:

* Představit studentům základy teorie funkce komplexní proměnné a upozornit na její specifické odlišnosti od teorie funkcí reálné proměnné.
* Ukázat studentům praktické použití teorie (zejména residuové věty a Laplaceovy transformace) pro výpočet komplexních i reáných integrálů a zejména pro fyzikální aplikace (kvantová mechanika, fyzika pevných látek).

Absolvováním kursu získá student tyto znalosti a dovednosti:
* Pochopení základů teorie funkcí komplexní proměnné a jejích principiálních odlišností od teorie funkcí reálné proměnné.
* Praktickou dovednost při výpočtech obsahujících funkce komplexní proměnné, zejména při výpočtech integrálů v komplexním i reálném oboru pomocí Cauchyovy věty a residuové věty.
* Praktickou dovednost při použití výpočtů v oblasti funkcí komplexní proměnné ve fyzikálních aplikacích (residuová věta, Laplaceova transformace).
* Pochopení problematiky odezvových funkcí prostřednictvím Laplaceovy transformace.
Osnova
  • 1.Úvodní pojmy-definice funkce komplexní proměnné, integrál.
  • 2. Holomorfní funkce, Cauchyovy-Riemannovy podmínky
  • 3. Regulární funkce, Taylorova řada.
  • 4. Cauchyova věta a její použití pro výpočet integrálů.
  • 5. Věta o jednoznačnosti, holomorfní prodloužení.
  • 6. Aplikace věty o jednoznačnosti, elementární funkce definované řadami.
  • 7. Fyzikální aplikace Cauchyovy věty (Kramersovy-Kronigovy relace) a věty o jednoznačnosti.
  • 8. Laurentova řada a reziduum.
  • 9. Věta o reziduích a její důsledky.
  • 10. Aplikace věty o reziduích při výpočtu integrálů.
  • 11. Mnohoznačné funkce, prodloužení podél křivek, základní mnohoznačné funkce.
  • 12. Laplaceova transformace.
  • 13. Aplikace Laplaceovy transformace ve fyzice, odezvové funkce.
  • 14. Konformní zobrazení a fyzikální aplikace.
Literatura
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Funkce komplexní proměnné. Translated by Ladislav Průcha. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 379 s. URL info
  • JEVGRAFOV, Marat Andrejevič. Sbírka úloh z teorie funkcí komplexní proměnné. Translated by Anna Něničková - Věra Maňasová - Eva Nováková. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1976, 542 s. URL info
  • RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru. Vyd. 2., přeprac. Praha: Academia, 2003, 460 s. ISBN 8020011250. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady
Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, cvičení
Zápočet: písemný (dvě části: (a) úlohy, (b) test).
Průběžné požadavky: Písemné testy. Účast ve cvičeních je povinná (75 %)
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
L.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 1999, podzim 2000, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, jaro 2012, podzim 2011 - akreditace, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.