M5160 Diferenciální rovnice a spojité modely

Přírodovědecká fakulta
podzim 2003
Rozsah
4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Rozvrh seminárních/paralelních skupin
M5160/01: Rozvrh nebyl do ISu vložen. J. Kalas
Předpoklady
M3100 Matematická analýza III && M2110 Lineární algebra II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory, komplexní funkce reálné proměnné. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Teorie diferenciálních rovnic patří mezi základní oblasti matematické analýzy. Je využívána v řadě dalších předmětů i v mnoha aplikacích. Kurs je zaměřen základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic, úvod do teorie stability a kvalitativní teorie diferenciálních rovnic a na matematické modelování v přírodních vědách.
Osnova
  • 1. Základní pojmy - obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy, řád rovnice, počáteční problém, pojem řešení diferenciální rovnice a počátečního problému. 2. Systémy lineárních diferenciálních rovnic - existence a jednoznačnost řešení, struktura systému řešení, metoda variace konstant, lineární systémy s konstantními koeficienty, souvislost lineárních systémů s lineárními rovnicemi vyšších řádů. 3. Lokální a globální vlastnosti řešení - lokální existence a jednoznačnost řešení nelineárních počátečních problémů, globální existence a jednoznačnost, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech. 4. Úvod do teorie stability - ljapunovské pojetí, stejnoměrná, asymptotická a exponenciální stabilita, stabilita lineárních a perturbovaných lineárních systémů, Hurwitzovo kritérium, přímá Ljapunovova metoda. 5. Autonomní rovnice - základní pojmy a vlastnosti, elementární typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v R2, Poincaré-Bendixsonova věta, Dulacovo kritérium, charakteristické směry. 6. Matematické modely, klasifikace modelů, základní etapy procesu matematického modelování, sestavení matematického modelu, dimenzionální a matematická analýza matematických modelů, vybrané matematické modely v přírodních vědách.
Literatura
  • KALAS, Josef a Miloš RÁB. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2001, 207 s. ISBN 80-210-2589-1. info
  • KALAS, Josef a Zdeněk POSPÍŠIL. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2001, 256 s. ISBN 80-210-2626-X. info
  • KURZWEIL, Jaroslav. Obyčejné diferenciální rovnice : úvod do teorie obyčejných diferenciálních rovnic v reálném oboru. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978, 418 s. info
  • GREGUŠ, Michal, Marko ŠVEC a Valter ŠEDA. Obyčajné diferenciálne rovnice. 1. vyd. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1985, 374 s. info
  • Hartman, Philip. Ordinary differential equations. Wiley, New York-London-Sydney, 1964.
  • Coppel, W. A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. D. C. Heath and company, Boston, 1965.
  • RÁB, Miloš. Metody řešení diferenciálních rovnic. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 68 s. info
  • RÁB, Miloš. Metody řešení diferenciálních rovnic. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 61 s. info
  • VERHULST, Ferdinand. Nonlinear differential equations and dynamical systems. Berlin: Springer Verlag, 1990, 277 s. ISBN 3-540-50628-4. info
  • Mesterton-Gibbons, M. A. A concrete approach to mathematical modelling. Addison-Wesley Publishing Company, 1989.
  • Edelstein-Keshet, L. Mathematical models in biology. The Ramdom House/Birkhäuser Mathematics Series, New York, 1987.
  • Ponomarev, K. K. Sostavlenie differencial'nych uravnenij. Vyšejšaja škola, Minsk, 1973.
  • BRAUN, Martin. Differential equations and their applications : an introduction to applied mathematics. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1978, xiii, 518. ISBN 0-387-90266-X. info
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, klasické cvičení. Zkouška: písemná a ústní.
Navazující předměty
Informace učitele
Předmět je ukončen zkouškou, která má dvě části - ústní a písemnou. Nutnou podmínkou pro absolvování zkoušky je udělení zápočtu. Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. Při písemné části lze dosáhnout maximálního počtu 4 bodů. K postoupení k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 1,5 bodu. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 1999, podzim 2010 - akreditace, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.