PřF:M5160 Diferenc. rovnice a sp. modely - Informace o předmětu

M5160 Diferenciální rovnice a spojité modely

Rozsah

4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

doc. RNDr. Josef Kalas, CSc. (přednášející)

Garance

doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

St 13:00–14:50 M3,01023, Pá 8:00–9:50 M3,01023

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

M5160/01: Pá 10:00–11:50 M3,01023, J. Kalas

Předpoklady

M3100 Matem. analýza III && M2110 Lineární algebra a geom. II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady, metrické prostory, komplexní funkce reálné proměnné. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Matematika (program PřF, M-MA)
• Matematika (program PřF, N-MA)

Cíle předmětu

Teorie diferenciálních rovnic patří mezi základní oblasti matematické analýzy. Je využívána v řadě dalších předmětů i v mnoha aplikacích. Základním cílem kursu je seznámit studenty se základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic, vybranými partiemi teorie stability a kvalitativní teorie diferenciálních rovnic a matematického modelování v přírodních vědách a ukázat souvislosti s jinými oblastmi matematiky.
Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen:
definovat a interpretovat základní pojmy užívané ve výše uvedených oblastech;
formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů;
ovládat efektivní techniky používané v těchto oblastech;
aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů;
analyzovat vybrané matematické dynamické deterministické modely.

Osnova

• 1. Základní pojmy - obyčejné diferenciální rovnice a jejich systémy, řád rovnice, počáteční problém, pojem řešení diferenciální rovnice a počátečního problému. 2. Systémy lineárních diferenciálních rovnic - existence a jednoznačnost řešení, struktura systému řešení, metoda variace konstant, lineární systémy s konstantními koeficienty, souvislost lineárních systémů s lineárními rovnicemi vyšších řádů. 3. Lokální a globální vlastnosti řešení - lokální existence a jednoznačnost řešení nelineárních počátečních problémů, globální existence a jednoznačnost, závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech. 4. Úvod do teorie stability - ljapunovské pojetí, stejnoměrná, asymptotická a exponenciální stabilita, stabilita lineárních a perturbovaných lineárních systémů, Hurwitzovo kritérium, přímá Ljapunovova metoda. 5. Autonomní rovnice - základní pojmy a vlastnosti, elementární typy singulárních bodů dvojrozměrných systémů, klasifikace singulárních bodů lineárních a perturbovaných lineárních systémů, struktura limitní množiny v R², Poincaré-Bendixsonova věta, Dulacovo kritérium, charakteristické směry. 6. Matematické modely, klasifikace modelů, základní etapy procesu matematického modelování, sestavení matematického modelu, dimenzionální a matematická analýza matematických modelů, vybrané matematické modely v přírodních vědách.

Literatura

• KALAS, Josef a Miloš RÁB. Obyčejné diferenciální rovnice. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2001, 207 s. ISBN 80-210-2589-1. info
• KALAS, Josef a Zdeněk POSPÍŠIL. Spojité modely v biologii. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2001, 256 s. ISBN 80-210-2626-X. info
• KURZWEIL, Jaroslav. Obyčejné diferenciální rovnice : úvod do teorie obyčejných diferenciálních rovnic v reálném oboru. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1978, 418 s. info
• GREGUŠ, Michal, Marko ŠVEC a Valter ŠEDA. Obyčajné diferenciálne rovnice. 1. vyd. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1985, 374 s. info
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. Wiley, New York-London-Sydney, 1964.
• Coppel, W. A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. D. C. Heath and company, Boston, 1965.
• RÁB, Miloš. Metody řešení diferenciálních rovnic. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 68 s. info
• RÁB, Miloš. Metody řešení diferenciálních rovnic. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 61 s. info
• VERHULST, Ferdinand. Nonlinear differential equations and dynamical systems. Berlin: Springer Verlag, 1990, 277 s. ISBN 3-540-50628-4. info
• Mesterton-Gibbons, M. A. A concrete approach to mathematical modelling. Addison-Wesley Publishing Company, 1989.
• Edelstein-Keshet, L. Mathematical models in biology. The Ramdom House/Birkhäuser Mathematics Series, New York, 1987.
• Ponomarev, K. K. Sostavlenie differencial'nych uravnenij. Vyšejšaja škola, Minsk, 1973.
• BRAUN, Martin. Differential equations and their applications : an introduction to applied mathematics. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1978, xiii, 518. ISBN 0-387-90266-X. info

Výukové metody

přednášky a cvičení

Metody hodnocení

Výuka: přednáška 4 hod. týdně, cvičení 2 hod. týdně. Zkouška: písemná a ústní.

Navazující předměty

• M7160 Obyčejné diferenciální rovnice II
• M8110 Parciální diferenciální rovnice
• M9110 Teorie her

Informace učitele

Předmět je ukončen zkouškou, která má dvě části - ústní a písemnou. Nutnou podmínkou pro absolvování zkoušky je udělení zápočtu. Požadavky na úspěšné zakončení předmětu: Písemná část zkoušky prokazuje schopnost praktické aplikace získaných poznatků na konkrétní příklady a dosažení potřebné početní praxe. Při písemné části lze dosáhnout maximálního počtu 4 bodů. K postoupení k ústní části zkoušky je třeba získat alespoň 1,5 bodu. V průběhu ústní zkoušky je požadováno pochopení zavedených pojmů, porozumění vyloženým větám a schopnost jejich formulace. Je vyžadována znalost jednodušších důkazů a myšlenkových postupů složitějších důkazů.

Další komentáře

Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.

• Statistika zápisu (podzim 2009, nejnovější)
  
• Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/podzim2009/M5160