MA0003 Algebra 1

Pedagogická fakulta
jaro 2025
Rozsah
2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
RNDr. Petra Antošová, Ph.D. (cvičící)
Garance
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Předpoklady
Předmět je zaměřen na získání základních znalostí a vědomostí z teorie binárních algebraických operací, algebraických struktur a jejich morfismů. Nedílnou součástí je seznámení s teorií cyklických grup a faktorových struktur. PŘEDPOKLADEM PŘEDMĚTU JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTU "ZÁKLADY MATEMATIKY" (MA0001).
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je určen pouze studentům mateřských oborů.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Na konci kurzu bude student schopen porozumět a vysvětlit základní pojmy a znalosti a řešit úlohy a problémy z následujících tématických okruhů: Binární algebraická operace v množině, vlastnosti operací. Algebraické struktury s jednou operací, jejich podstruktury a homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma operacemi, jejich podstruktury a homomorfismy. Cyklické grupy. Faktorové struktury (vytvořující rozklad, rozklad podle podgrupy, invariantní podgrupa, faktorgrupa, rozklad podle ideálu, faktorokruh). Speciálně dovednost nalézt kořeny polynomu, počítat s komplexními čísly (včetně počítání n-té mocniny a n-té odmocniny z komplexního čísla).
Výstupy z učení
Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii aritmetických operací, jako je sčítání, násobení, průnik, sjednocení, sečítání a násobení zbytkových tříd celých čísel; b) mít dovednosti při řešení algebraických rovnic v různých částech matematiky; c) znát důkazové metody a metody matematického usuzování pro některé vlastnosti matematických operací; d) schopni výpočtů s komplexními čísly, včetně výpočtu mocniny a odmocniny z komplexního čísla.
Osnova
  • Osnova přednášky a cvičení:
  • Cvičení 1: Axiomy číselných operací, základní vlastnosti operací na množině, pologrupy, grupy (včetně definic). Viz kapitola 1 elektronického textu.
  • Přednáška 1: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy. (viz kapitoly 2,3 elektronického textu - přednáška).
  • Cvičení 2: Určování algebraických vlastností operací, určování charakteru struktury s jednou operací. Viz cvičení za kapitolou 1 textu.
  • Přednáška 2: Nekomutativní grupy (kapitola 4 - přednáška)
  • Cvičení 3: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy -- cvičení za kapitolami 2,3.
  • Přednáška 3: Izomorfismus, Cayleyho věta (kapitola 5, včetně cvičení).
  • Cvičení 4: Nekomutativní grupy -- cvičení za kapitolou 4.
  • Přednáška 4: Lagrangeova věta, homomorfismus grup (kapitoly 7,8)
  • Cvičení 5: Řád prvku, cyklické grupy (kapitola 6 celá, přednáška i cvičení). Relace kongruence, grupy zbytkových tříd modulo n. Příprava na prověrku v následujícím týdnu.
  • Přednáška 5: Normální=invariantní podgrupa, faktorgrupa (kapitola 9 včetně cvičení). Zmínka o zbytkových třídách ještě jednou (o korektnosti definované operace).
  • Cvičení 6: prověrka-a z toho, co se probralo.
  • Přednáška 6: Struktury se dvěma operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa.
  • Cvičení 7: Polynomy 01. Rozklad polynomu na součin polynomů prvního stupně, kořen polynomu, Hornerovo schéma, znaménkové změny, věta o racionálních kořenech polynomu s celočíselnými koeficienty.
  • Přednáška 7: Struktury se dvěma operacemi: analogie Cayleyho věty, analogie Lagrangeovy věty, analogie věty o homomorfismu, analogie dobře definované operace na faktorgrupě. Věta o rozšíření těles.
  • Cvičení 8: Polynomy 02. NSD pomocí rozkladu i pomocí Eukleidova algoritmu. Odstranění násobných kořenů polynomu.
  • Přednáška 8: Polynomy -- přehled algebraických metod hledání kořenů polynomu.
  • Cvičení 9: Polynomy 03. Hledání iracionálních kořenů polynomu numerickými metodami: metoda půlení intervalu, Newtonova metoda.
  • Přednáška 9: Polynomy -- přehled numerických metod hledání kořene polynomu (včetně iracionálního a komplexního, využití jazyka R).
  • Cvičení 10: Komplexní čísla 01: operace s komplexními čísly, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, geometrický význam násobení a dělení komplexních čísel.
  • Přednáška 10: Definice vektorového prostoru, báze a dimenze. Stupeň rozšíření těles, algebraický důkaz nemožnosti trisekce úhlu a bisekce krychle.
  • Cvičení 11: Komplexní čísla 02: n-tá mocnina a n-tá odmocnina z komplexního čísla, řešení binomických rovnic.
  • Přednáška 11: Galoisova teorie -- pokus o začátek přehledu.
  • Cvičení 12: prověrka-b na polynomy a komplexní čísla.
  • Přednáška 12: Galoisova teorie -- pokus o hlavní krok.
Literatura
    doporučená literatura
  • PINTER, Charles C. A book of abstract algebra. Second edition. Mineola, New York: Dover Publications, 2010, xiv, 384. ISBN 9780486474175. info
  • HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1998, 221 s. ISBN 8021018534. info
Výukové metody
Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (1. ročník vysokoškolského studia).
Metody hodnocení
Zkouška bude sestávat z několika záchytných bodů, které všechny musí student splnit na jisté úrovni: a) písemka ze cvičení - jedna nebo dvě písemky; b) teoretická část - prověrky v průběhu semestru; c) závěrečná písemná část zkoušky
Informace učitele
Použitá literatura:
Charles C. Pinter: The Book of Abstract Algebra. Dover Publications 2010, reprint of the second edition from 1990.
Horák, P. (1998) Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. (ISBN 80-210-1853-4). Brno: MU.
Horák, P. (2013) M1125 Základy matematiky - učební text Přírodovědecké fakulty MU (dostupný na internetu).
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024.