PřF:M4170 Míra a integrál - Informace o předmětu

M4170 Míra a integrál

Rozsah

2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.

Vyučující

prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc. (přednášející)
doc. Mgr. Peter Šepitka, Ph.D. (cvičící)

Garance

prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta

Rozvrh

Po 18. 2. až Pá 17. 5. Út 12:00–13:50 M5,01013

• Rozvrh seminárních/paralelních skupin:

M4170/01: Po 18. 2. až Pá 17. 5. Čt 14:00–15:50 M3,01023, P. Šepitka

Předpoklady

M3100 Matem. analýza III
Diferenciální počet funkcí více proměnných. Metrické prostory.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Obecná matematika (program PřF, B-MA)
• Statistika a analýza dat (program PřF, B-MA)

Cíle předmětu

Teorie míry a integrálu náleží k základnímu kurzu matematické analýzy. Cílem kurzu je pochopit abstraktní teorii míry a mírou definovaný abstraktní integrál. Ve speciálním případě se pak dostane Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál.

Student po absolvování kurzu
- bude rozumět Caratheodoryho konstrukci měřitelných množin a míry,
- bude rozumět konstrukci abstraktního integrálu podle míry,
- pochopí konstrukci Lebesgueovy míry a Lebesgueova integálu v Rn,
- bude schopen vysvětlit rozdíl mezi Lebesgueovým a Riemannovým integrálem,
- porozumí teorii integrování v součinových prostorech,
- bude schopen analyzovat chování funkcí zadaných jako integrál závislý na parametru,
- bude připraven na aplikace teorie míry a integrálu v diferenciálních rovnicích, variačním počtu a teorii pravděpodobnosti.

Osnova

• 1. Základní pojmy teorie míry: sigma-algebra, borelovské množiny, míra, měřitelné množiny.
• 2. Vnější míra a Caratheodoryho konstrukce míry.
• 3. Lebesgueova míra v Rn.
• 4. Měřitelné funkce.
• 5. Abstraktní integrál podle míry, jeho základní vlastnosti, věty o limitních přechodech.
• 6. Lebesgueův integrál v Rn, srovnání Lebesgueova a Riemanova integrálu.
• 7. Součin měr, integrace v součinových prostorech, Tonelliho a Fubiniova věta.
• 8. Věta o substituci.
• 9. Integrály závislé na parametru: věty o spojitosti, derivaci a jejich aplikace na výpočet určitých integrálů,
• 10. Nevlastní Lebesgueův integrál v Rn, funkce Gamma a Beta.

Literatura

• RUDIN, Walter. Analýza v reálném a komplexním oboru. Vyd. 2., přeprac. Praha: Academia, 2003, 460 s. ISBN 8020011250. info
• KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič a Sergej Vasil‘jevič FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Translated by Vladimír Doležal - Zdeněk Tichý. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975, 581 s. info
• SIKORSKI, Roman. Diferenciální a integrální počet : funkce více proměnných. Translated by Ilja Černý. 2., změn. a dopl. vyd., Vyd. Praha: Academia, 1973, 495 s. URL info
• SALAMON, Dietmar. Measure and integration. Zürich, Switzerland: European Mathematical Society, 2016, viii, 355. ISBN 9783037191590. info
• LUKEŠ, Jaroslav a Jan MALÝ. Míra a integrál. 2. vyd. Praha: Karolinum, 2002, 179 s. ISBN 8024605430. info
• BRUCKNER, Andrew M., Judith B. BRUCKNER a Brian S. THOMSON. Real analysis. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 1997, xiv,713 st. ISBN 013458886X. info
• NAGY, Jozef, Milan VACEK a Eva NOVÁKOVÁ. Lebesgueova míra a integrál. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1985, 151 s. URL info

Výukové metody

Dvouhodinová přednáška a dvouhodinové cvičení.

Metody hodnocení

Písemná závěrečná zkouška kombinovaná s ústní zkouškou. Ve cvičení budou dvě vnitrosemestrální písemky. Výsledky cvičení se částečně přenášejí do hodnocení zkoušky. Písemná i ústní část obsahuje i teoretické otázky k důkazům. Cílem je prokázat pochopení základních pojmů, jejich vzájemných vztahů a celkových souvislostí v teorii míry a integrálu.

Další komentáře

Předmět je vyučován každoročně.

• Statistika zápisu (jaro 2019, nejnovější)
  
• Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2019/M4170