M6150 Funkcionální analýza I

Přírodovědecká fakulta
jaro 2021
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. Mgr. Peter Šepitka, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Michal Veselý, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 1. 3. až Pá 14. 5. Út 12:00–13:50 online_M4
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M6150/01: Po 1. 3. až Pá 14. 5. Čt 12:00–12:50 online_M5, P. Šepitka
Předpoklady
M3100 Matem. analýza III
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Funkcionální analýza patří mezi základní univerzitní kurzy matematiky. Je využívána v řadě dalších předmětů i v mnoha aplikacích. Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními pojmy lineární funkcionální analýzy, zejména s lineárními prostory, jejich duálními (adjungovanými) prostory a s lineárními funkcionály.
Výstupy z učení
Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen: definovat a interpretovat základní pojmy užívané ve výše uvedených oblastech; formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů; ovládat efektivní techniky používané v těchto oblastech; aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů; analyzovat vybrané úlohy souvicející s probíranou tématikou.
Osnova
  • 0. Metrické prostory: Základní příklady. Uzavřené a otevřené množiny. Limity posloupností. Zobrazení metrických prostorů. Úplné prostory. Kompaktní prostory.
  • 1. Normované lineární prostory, Hilbertovy prostory: Základní rozdíly mezi konečnou a nekonečnou dimenzí. Prostory funkcí a posloupností. Ortogonalita v Hilbertových prostorech. Obecné Fourierovy řady.
  • 2. Lineární funkcionály: Norma, spojitost, omezenost, invertibilita. Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
  • 3. Duální prostory: Duální prostory k prostorům funkcí a posloupností. Slabá konvergence a reflexivita. Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Literatura
    doporučená literatura
  • A guide to functional analysis. Edited by Steven G. Krantz. Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2013, xii, 137 p. ISBN 9781614442134. info
  • DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Metrické prostory : teorie a příklady. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2006, viii, 90. ISBN 8021041609. info
  • NAJZAR, Karel. Funkcionální analýza. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1975, 183 s. info
  • KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič a Sergej Vasil‘jevič FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Translated by Vladimír Doležal - Zdeněk Tichý. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975, 581 s. info
    neurčeno
  • ZEIDLER, Eberhard. Applied functional analysis : main principles and their applications. New York: Springer-Verlag, 1995, xvi, 404. ISBN 0387944222. info
  • CONWAY, John B. A course in functional analysis. 2-nd ed. New York: Springer - Verlag, 1990, xvi, 399. ISBN 0387972455. info
Výukové metody
Přednášky a cvičení
Metody hodnocení
Závěrečná ústní zkouška na 20 bodů. Pro úspěšné ukončení předmětu (hodnocení minimálně E) je zapotřebí získat alespoň 10 bodů.
Podmínky (především ohledně distanční či prezenční formy zkoušky) budou upřesněny podle vývoje epidemiologické situace a platných omezení.
Navazující předměty
Informace učitele
Výuka probíhá většinou v češtině nebo dle potřeby v angličtině, příslušná terminologie je za všech okolností uváděna i s anglickými ekvivalenty.
Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky.
Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.