M6150 Funkcionální analýza I

Přírodovědecká fakulta
jaro 2025
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučováno kontaktně
Vyučující
doc. Mgr. Peter Šepitka, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. Mgr. Peter Šepitka, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Předpoklady
M3100 Matem. analýza III
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí jedné i více proměnných, integrální počet, číselné a funkční posloupnosti a řady. Lineární algebra: Systémy lineárních rovnic, determinanty, lineární prostory, lineární transformace a matice, kanonický tvar matice.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Funkcionální analýza patří mezi základní univerzitní kurzy matematiky. Je využívána v řadě dalších předmětů i v mnoha aplikacích. Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními pojmy lineární funkcionální analýzy, zejména s lineárními prostory, jejich duálními (adjungovanými) prostory a s lineárními funkcionály.
Výstupy z učení
Po úspěšném absolvování tohoto kurzu bude student schopen: definovat a interpretovat základní pojmy užívané ve výše uvedených oblastech; formulovat příslušné matematické věty a tvrzení a vysvětlit metody jejich důkazů; ovládat efektivní techniky používané v těchto oblastech; aplikovat získané poznatky při řešení konkrétních příkladů; analyzovat vybrané úlohy souvicející s probíranou tématikou.
Osnova
  • 0. Metrické prostory: Základní příklady. Uzavřené a otevřené množiny. Limity posloupností. Zobrazení metrických prostorů. Úplné prostory. Kompaktní prostory.
  • 1. Normované lineární prostory, Hilbertovy prostory: Základní rozdíly mezi konečnou a nekonečnou dimenzí. Prostory funkcí a posloupností. Ortogonalita v Hilbertových prostorech. Obecné Fourierovy řady.
  • 2. Lineární funkcionály: Norma, spojitost, omezenost, invertibilita. Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
  • 3. Duální prostory: Duální prostory k prostorům funkcí a posloupností. Slabá konvergence a reflexivita. Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Literatura
    doporučená literatura
  • A guide to functional analysis. Edited by Steven G. Krantz. Washington, D.C.: Mathematical Association of America, 2013, xii, 137 p. ISBN 9781614442134. info
  • DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Metrické prostory : teorie a příklady. 3. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2006, viii, 90. ISBN 8021041609. info
  • NAJZAR, Karel. Funkcionální analýza. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1975, 183 s. info
  • KOLMOGOROV, Andrej Nikolajevič a Sergej Vasil‘jevič FOMIN. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. Translated by Vladimír Doležal - Zdeněk Tichý. Vyd. 1. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1975, 581 s. info
    neurčeno
  • ZEIDLER, Eberhard. Applied functional analysis : main principles and their applications. New York: Springer-Verlag, 1995, xvi, 404. ISBN 0387944222. info
  • CONWAY, John B. A course in functional analysis. 2-nd ed. New York: Springer - Verlag, 1990, xvi, 399. ISBN 0387972455. info
Výukové metody
Přednášky a cvičení
Metody hodnocení
Dvouhodinová písemná závěrečná zkouška (je nutné získat alespoň 50 % bodů) s následnou ústní částí zkoušky.
Podmínky (především ohledně distanční či prezenční formy zkoušky) budou upřesněny podle vývoje epidemiologické situace a platných omezení.
Navazující předměty
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2008 - akreditace, jaro 2011 - akreditace, jaro 2000, jaro 2001, jaro 2002, jaro 2003, jaro 2004, jaro 2005, jaro 2006, jaro 2007, jaro 2008, jaro 2009, jaro 2010, jaro 2011, jaro 2012, jaro 2012 - akreditace, jaro 2013, jaro 2014, jaro 2015, jaro 2016, jaro 2017, jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2024.
  • Statistika zápisu (nejnovější)
  • Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/jaro2025/M6150