F3063 Integrování forem

Přírodovědecká fakulta
podzim 2007 - akreditace
Rozsah
3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Předpoklady
M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.
Osnova
  • 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
Literatura
  • KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
  • SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
  • NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní
Navazující předměty
Informace učitele
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce: 1. Získání alespoň 50% bodů (z celkového dosažitelného součtu) ze tří tematicky zaměřených písemek, ohlášených dva týdny předem: (1) topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. 2. Účast ve všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vzorovým vyřešením a odevzdáním příkladů zveřejňovaných na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova. 3. Vzorové vyřešení domácích úloh (celkem 20 příkladů za semestr). Příklady budou zveřejňovány na adrese http://www.physics.muni.cz/~czudkova nejpozději v den příslušného cvičení. Příklady je nutno odevzdávat průběžně, nejpozději do dvou týdnů po proběhnutí příslušného cvičení. Pro studenty kombinované formy platí tytéž požadavky, první z nich však lze po domluvě narhadit napsáním jediné písemky (úspěšnost alespoň 50%), která pokrývá látku celého semestru. Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 1999, podzim 2010 - akreditace, podzim 2000, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, jaro 2012 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2025.