F3063 Integrování a řady

Přírodovědecká fakulta
podzim 2009
Rozsah
4/2/0. 6 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Rozvrh
St 7:00–10:50 F3,03015, Pá 8:00–9:50 F3,03015
Předpoklady
M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje

-- teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních antisymetrických tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze,
-- výklad problematiky nekonečných řad.

(1) Integrování diferenciálních forem: Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než standardně vyučovanými metodami tzv. "klasické analýzy" (na druhé straně však již toto modernější pojetí je třeba považovat za klasické, zatímco běžně užívané metody spiše za konzervativní). Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny klasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.

(2) Nekonečné řady: Těžiště této části předmětu spočívá, po výkladu nejnutnějších tvrzení o číselných posloupnostech a řadách, v problematice řad funkcí (konvergence, stejnoměrná konvergence). Pozornost je soustředěna na mocninné a Fourierovy řady, jejich aplikace při řešení diferenciálních rovnic a aplikace ve fyzice.

Předmět sleduje především tyto cíle:

* Ukázat studentům obecnější a účinnější přístup k teorii integrálu.
* Propojit obecnou matematickou teorii s praktickými geometrickými a fyzikálními aplikacemi a ukázat jejich těsnou souvislost.

Absolvováním předmětu získá student tyto znalosti a dovednosti:

* Obecný přehled o problematice vektorových a tenzorových polí jako geometrických (invariantních) objektech na euklidovských prostorech.
* Praktickou dovednost při počítání s vektory a tenzory ve vícerozměrných prostorech (algebra) a vektorovými a tenzorovými poli v euklidovských prostorech (analýza).
* Porozumění pojmu diferenciální formy a dovednost při prováděni algebraických i analytických operací s ní (vnější součin, vnější derivace, pulback).
* Pochopení pojmu riemannovského integrálu z diferenciální k-formy na k-rozměrném útvaru v obecně n-rozměrném euklidovském prostoru (k menší nebo rovno n), pochopení pojmu křivkového a plošného integrálu jako speciálních případů.
* Znalost obecného Stokesova teorému převádějícího integraci (k-1)-formy po hranici k-rozměrného útvaru M na integraci vnější derivace této formy po útvaru M, jeho důkazu a jeho klasických aplikací (věty Greenova, klasická Stokesova, Gaussova-Ostrogradského).
* Praktická dovednost při výpočtech integrálů, včetně užití obecného Stokesova teorému, výpočet práce silového pole, toku vektorového pole plochou, apod.
* Dovednost při využití obecného Stokesova teorému při odvození diferenciálních (lokálních) přírodních zákonů ze zákonů integrálních (globálních), např. rovnice mechaniky kontinua, Maxwellovy rovnice v klasické elektrodynamice, apod.
* Praktická dovednost při výpočtu objemů n-rozměrných útvarů integrací objemového elementu (délky křivek, obsahy ploch, objemy těles).
* Zvládnutí základů teorie konvergence číselných a funkčních nekonečných řad.
* Pochopení rozdílnosti definice konvergence a stejnoměrné konvergence posloupností funkcí, resp. nekonečných řad funkcí.
* Praktické výpočty týkající se konvergence mocninných a Fourierových řad.
Osnova
  • 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce.
  • 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu.
  • 3. Prostory kovariantních tenzorů, algebraické operace.
  • 4. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy.
  • 5. Vnější derivace. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů.
  • 6. Integrál diferenciální formy na singulární krychli.
  • 7. Stokesův teorém.
  • 8. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty.
  • 9. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
  • 10. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou.
  • 11. Základy teorie konvergence nekonečných číselných řad.
  • 12. Posloupnosti a řady funkcí, konvergence, stejnoměrná konverence.
  • 13. Mocninné a Fourierovy řady.
  • 14. Aplikace teorie nekonečných řad: Řešení diferenciálních rovnic, aproximace funkcí, fyzikální aplikace.
Literatura
  • KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
  • SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
  • NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
  • DOŠLÁ, Zuzana a Vítězslav NOVÁK. Nekonečné řady. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2007, iv, 113. ISBN 9788021043343. info
Výukové metody
Přednáška: teoretická výuka kombinovaná s praktickými příklady. Cvičení: teoretické cvičení zaměřené na procvičení základních pojmů a tvrzení, samostatné řešení úloh, včetně úloh komplexnějšího charakteru.
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní
Navazující předměty
Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy studia:

  1. Absolvování tří tematicky zaměřených průběžných písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
  2. Odevzdání domácích úkolů. Úkoly budou po každém cvičení zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/. Každý úkol je možno opravovat nejvýše jednou. Domácí úkoly a jejich opravy je nutné odevzdávat vždy do týdne po uplynutí příslušného cvičení. Výjimku tvoří pouze omluvitelné situace, jako je například nemoc podložená lékařským potvrzením nebo nekonání výuky; v takovém případě je třeba odevzdat úkoly v bezprostředně následující výuce předmětu.
  3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2010.
  4. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou od 3. prosince 2009 zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".

Porušení pravidel 1. až 3. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období. Termín opravné písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2009.
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy studia (studenti kombinované formy mohou též zvolit jako alternativu požadavky pro studenty prezenční formy):
  1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Písemka bude obsahovat tři odděleně klasifikované tematické části (viz průběžné písemky pro prezenční formu). Klasifikace je dána stupnicí uvedenou ve Studijním a zkušebním řádu MU. Písemka je úspěšná pouze v případě, že nejvýše jedna z jejích částí je hodnocena stupněm F. Další pravidla klasifikace jsou shodná s pravidly pro prezenční formu. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2009.
  2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše). Každý domácí úkol lze opravovat nejvýše jednou.
  3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše). Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou.
  4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2010.
  5. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou od 3. prosince 2009 zveřejněny na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".
Porušení pravidel 1. až 4. bude posuzováno individuálně v průběhu zkouškového období.
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu:

1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice).
Písemná část zkoušky: Část (a) - příklady - ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b) - test - prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část zkoušky je klasifikována, je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna její část (známky z písemné části zkoušky nabývají platnosti až po potvrzení zkoušejícím).
Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky takto: Výsledná známka = (1x známka z první průběžné písemky + 1x známka z druhé průběžné písemky + 1x známka z třetí průběžné písemky + 2x známka z příkladů + 2x známka z testu + 4x známka z ústní zkoušky)/11.
Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 1999, podzim 2010 - akreditace, podzim 2000, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, jaro 2012 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2025.