PřF:M3130 Lineární algebra a geom. III - Informace o předmětu

M3130 Lineární algebra a geometrie III

Rozsah

2/2. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.

Vyučující

doc. Lukáš Vokřínek, PhD. (přednášející)

Garance

doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta

Předpoklady

M2110 Lineární algebra II
Znalost základních pojmů lineární algebry, včetně vlastních čísel a vektorů, znalost bilineárních a kvadratických forem.

Omezení zápisu do předmětu

Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.

Mateřské obory/plány

• Matematika (program PřF, M-MA)

Cíle předmětu

Třetí ze serie přednášek o lineární algebře a geometrii je věnována třem základním tématům: kvadrikám a jejich klasifikaci, multilineární algebře a souvislosti mezi polynomiálními maticemi a Jordanovým kanonickým tvarem.

Na prvé téma navazují přednášky o geometrii křivek a ploch, Jordanův kanonický tvar se uplatňuje při řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic a multilineární algebra je nezbytná pro diferenciální geometrii, fyzikální a technické aplikace.

Na konci tohoto kurzu bude student schopen:
*rozumět souvislosti mezi bilineárními formami a geometrií kvadrik
*odvozovat geometrické vlastnosti kvadrik
*počítat s tenzory v souřadnicích i bez nich
*ovládat další způsob nalezení Jordanova kanonického tvaru

Osnova

• Afinní a projektivní prostory: definice afinního a projektivního prostoru, podprostory, afinita a kolineace, projektivní rozšíření afinního prostoru, komplexifikace.
• Kvadriky v afinním a projektivním prostoru: definice nadkvadrik, nadkvadriky a bilinearní formy, klasifikace nakvadrik v projektivním prostoru, polárně sdružené body vzhledem k nadkvadrice, tečné nadroviny, středy a asymptoty, afinní klasifikace kuželoseček a kvadrik.
• Metrické vlastnosti kvadrik: hlavní směry, hlavní nadroviny, metrická klasifikace kuželoseček a kvadrik.
• Multilineární algebra: duální vektorový prostor, duální báze, duální zobrazení, tenzorový součin, ekvivalence různých definic, vnější a symetrický součin, souřadnice tenzorů, funktor Hom a jeho vztah k tenzorovému součinu.
• Polynomiální matice: ekvivalence, kanonický tvar, souvislost s charakteristickým a minimálním polynomem a s Jordanovým kanonickým tvarem.

Literatura

• Čadek M: Lineární algebra a geometrie III, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~cadek
• Slovák J.: Lineární algebra, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~slovak
• Kostrikin A., Manin Yu.: Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1997

Výukové metody

Přednášky a cvičení.

Metody hodnocení

Ke zkoušce je nutný zápočet ze cvičení, kde se budou psát během semestru dvě písemky. Je potřeba dosáhnout celkově alespoň poloviny bodů.
Zkouška se sestává z písemné a ústní části.

Navazující předměty

• M4190 Diferenciální geometrie křivek a ploch

Informace učitele

http://www.math.muni.cz/~cadek
Ke zkoušce je nutný zápočet ze cvičení. Zkouška je písemná a ústní. Písemná zkouška má početní a teoretickou část. Při ústní zkoušce se bude ověřovat porozumění přednesené látce a schopnost ji demonstrovat na jednoduchých příkladech. Nutná je znalost základních pojmů lineární algebry z předchozích semestrů: vektorový prostor, báze, souřadnice, lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení, matice přechodu, vlastní čísla a vektory, bilineární a kvadratické formy. Na cvičeních se budou psát tři písemky. Zápočet bude udělen, pokud student za tyto písemky obdrží aspoň polovinu z udělených bodů. Studenti, kteří dosáhnou horšího výsledku, budou psát náhradni zápočtovou písemku. Na zápočet musí získat aspoň polovinu bodů.

Další komentáře

Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.

• Statistika zápisu (podzim 2010 - akreditace, nejnovější)
  
• Permalink: https://is.muni.cz/predmet/sci/podzim2010-akreditace/M3130