M3130 Lineární algebra a geometrie III

Přírodovědecká fakulta
podzim 2019
Rozsah
2/2/0. 4 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Doporučované ukončení: zk. Jiná možná ukončení: k.
Vyučující
doc. Lukáš Vokřínek, PhD. (přednášející)
Garance
doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
Po 10:00–11:50 M1,01017
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M3130/01: Út 12:00–13:50 M2,01021, L. Vokřínek
Předpoklady
M2110 Lineární algebra a geom. II
Znalost základních pojmů lineární algebry, včetně vlastních čísel a vektorů, znalost bilineárních a kvadratických forem.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Třetí ze serie přednášek o lineární algebře a geometrii je věnována třem základním tématům:
- kvadrikám a jejich klasifikaci,
- multilineární algebře a tenzorům,
- celočíselnám a polynomiálním maticím a jejich vztahu s Jordanovým kanonickým tvarem.
Na prvé téma navazují přednášky o geometrii křivek a ploch, Jordanův kanonický tvar se uplatňuje při řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic a multilineární algebra je nezbytná pro diferenciální geometrii, fyzikální a technické aplikace.
Výstupy z učení
Na konci tohoto kurzu bude student schopen:
- rozumět souvislosti mezi bilineárními formami a geometrií kvadrik;
- počítat invarianty kvadrik a odvozovat jejich geometrické vlastnosti;
- počítat s tenzory v souřadnicích i bez nich;
- nalézt Smithův normální tvar matice a interpretovat jej, zejména z něj odvodit Jordanův kanonický tvar
Osnova
  • Afinní a projektivní prostory: definice afinního a projektivního prostoru, podprostory, afinita a kolineace, projektivní rozšíření afinního prostoru, komplexifikace.
  • Kvadriky v afinním a projektivním prostoru: definice nadkvadrik, nadkvadriky a bilinearní formy, klasifikace nakvadrik v projektivním prostoru, polárně sdružené body vzhledem k nadkvadrice, tečné nadroviny, středy a asymptoty, afinní klasifikace kuželoseček a kvadrik.
  • Metrické vlastnosti kvadrik: hlavní směry, hlavní nadroviny, metrická klasifikace kuželoseček a kvadrik.
  • Multilineární algebra: duální vektorový prostor, duální báze, duální zobrazení, tenzorový součin, ekvivalence různých definic, vnější a symetrický součin, souřadnice tenzorů, funktor Hom a jeho vztah k tenzorovému součinu.
  • Celočíselné a polynomiální matice: Smithův normální tvar, souvislost s prezentací komutativních grup, klasifikace konečně generovaných komutativních grup, souvislost s charakteristickým a minimálním polynomem a s Jordanovým kanonickým tvarem.
Literatura
  • Čadek M: Lineární algebra a geometrie III, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~cadek
  • Slovák J.: Lineární algebra, elektronický učební text PřF MU Brno, www.math.muni.cz/~slovak
  • Kostrikin A., Manin Yu.: Linear algebra and geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1997
Výukové metody
Přednášky a cvičení.
Metody hodnocení
Ke zkoušce je nutné krom dostatečné účasti na cvičení také dosáhnout celkově více než poloviny bodů ze dvou písemek, ketré se budou psát během semestru ve cvičení.
Zkouška se sestává z písemné a ústní části.
Navazující předměty
Informace učitele
http://www.math.muni.cz/~cadek
Ke zkoušce je nutný zápočet ze cvičení. Zkouška je písemná a ústní. Písemná zkouška má početní a teoretickou část. Při ústní zkoušce se bude ověřovat porozumění přednesené látce a schopnost ji demonstrovat na jednoduchých příkladech. Nutná je znalost základních pojmů lineární algebry z předchozích semestrů: vektorový prostor, báze, souřadnice, lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení, matice přechodu, vlastní čísla a vektory, bilineární a kvadratické formy. Na cvičeních se budou psát dvě písemky. Zápočet bude udělen, pokud student za tyto písemky obdrží více než polovinu z udělených bodů. Studenti, kteří dosáhnou horšího výsledku, budou psát náhradni zápočtovou písemku. Na zápočet musí získat aspoň polovinu bodů.
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 2010 - akreditace, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2007, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023, podzim 2024.