F3063 Integrování forem

Přírodovědecká fakulta
podzim 2007
Rozsah
3/2/0. 4 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
prof. RNDr. Jana Musilová, CSc. (přednášející)
Mgr. Lenka Czudková, Ph.D. (cvičící)
Garance
prof. RNDr. Michal Lenc, Ph.D.
Ústav teoretické fyziky a astrofyziky – Fyzikální sekce – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.
Rozvrh
Čt 7:00–9:50 F3,03015, Pá 13:00–14:50 F3,03015
Předpoklady
M1100 Matematická analýza I && M2100 Matematická analýza II
Matematická analýza: Diferenciální počet funkcí více proměnných, vícenásobný Riemannův integrál. Algebra: Tenzory a operace s nimi.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Disciplína patří k základnímu kursu matematické analýzy pro studenty fyziky. Obsahuje teorii riemannovského integrování diferenciálních forem, tj. kovariantních tenzorových polí, na podmnožinách euklidovského prostoru obecné dimenze. Užitím diferenciálních forem jako integrovaných objektů vzniká definice daleko přirozenějším způsobem než tzv. "klasicky". Definice je obecná, zahrnuje klasické křivkové a plošné integrály. Základním výsledkem teorie je obecný Stokesův teorém, obsahující všechny kasické integrální věty jako speciální případy. Důraz je kladen na praktické výpočty integrálů, zejména s fyzikálním významem.
Osnova
  • 1. Základní pojmy-stručné opakování: základy topologie, diferencovatelné funkce. 2. Základní pojmy-stručné opakování: Riemannův integrál na n-rozměrném euklidovském prostoru, integrabilní funkce, Fubiniova věta, věta o transformaci integrálu. 3. Zobecnění integrálu - rozklad jednotky. 4. Prostory kovariantních tenzorů. 5. Vektorová a tenzorová pole, diferenciální formy. 6. Vnější součin, vnější derivace. 7. Inversní obraz (pullback) zobrazením podmnožin euklidovských prostorů. 8. Integrál diferenciální formy na singulární krychli. 9. Stokesův teorém. 10. Integrál prvého a druhého druhu, klasické integrální věty. 11. Aplikace-geometrické a fyzikální chakteristiky jednorozměrných, dvourozměrných a třírozměrných útvarů. 12. Aplikace-práce silového pole po křivce, tok vektorového pole plochou. 13. Objemový element. Objemy geometrických útvarů.
Literatura
  • KRUPKA, Demeter a Jana MUSILOVÁ. Integrální počet na euklidových prostorech a diferencovatelných varietách. Vyd. 1. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1982, 320 s. info
  • SPIVAK, Michael. Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. 1. vyd. Perseus Pr., 1996. ISBN 0805390219. info
  • NAKAHARA, Mikio. Geometry, topology and physics. Bristol: Institute of physics publishing, 1990, xiii, 505. ISBN 0-85274-095-6. info
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, klasické cvičení Zkouška: písemná (dvě části: (a) příklady, (b) test) a ústní
Navazující předměty
Informace učitele

Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty prezenční formy:

  1. Absolvování tří tematicky zaměřených písemek, termíny budou oznámeny alespoň dva týdny předem: (1) topologie, diferencovatelné funkce, Riemannův integrál, (2) algebra tenzorů, počítání s diferenciálními formami, integrál z diferenciálních forem, (3) integrální věty, fyzikální aplikace. Každá písemka je klasifikována podle stupnice uvedené ve Studijním a zkušebním řádu MU. Je třeba, aby stupněm F byla hodnocena nejvýše jedna písemka. K dosažení hodnocení alespoň E na dané písemce je třeba získat nejméně 50 procent z maximálního počtu bodů.
  2. Odevzdání domácích úkolů. Úkoly, které budou průběžně zveřejňovány na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, je třeba odevzdat nejpozději v následujícím cvičení. Každý úkol je možno opravovat nejvýše jednou.
  3. Účast na všech cvičeních. Tento požadavek lze nahradit vypracováním dvou náhradních příkladů za každé cvičení. Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou. Náhradní příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdtat do 20. ledna 2008.
  4. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou k dispozici na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".
Podmínky pro podání přihlášky ke zkoušce pro studenty kombinované formy:
  1. Absolvování závěrečné písemky pokrývající látku celého semestru. Písemka bude obsahovat tři odděleně klasifikované tematické části (viz dílčí písemky pro prezenční formu). Klasifikace je dána stupnicí uvedenou ve Studijním a zkušebním řádu MU. Písemka je úspěšná pouze v případě, že nejvýše jedna z jejích částí je hodnocena stupněm F. Další pravidla klasifikace jsou shodná s pravidly pro prezenční formu. Termín písemky bude oznámen mailem rozeslaným prostřednictvím Informačního systému v prvním prosincovém týdnu 2007.
  2. Odevzdání domácích úkolů shodných s úkoly pro prezenční formu (viz výše). Každý domácí úkol lze opravovat nejvýše jednou.
  3. Odevzdání náhradních příkladů za neúčasti ve cvičení (dva příklady za každé cvičení, shodné s příklady pro prezenční formu - viz výše). Každý soubor náhradních příkladů lze opravovat nejvýše jednou.
  4. Domácí úkoly i příklady za neúčasti ve cvičení je třeba odevzdat do 20. ledna 2008.
  5. Dodatečné informace k ukončení předmětu jsou k dispozici na stránce http://physics.muni.cz/~czudkova/, položka "Výuka".
Požadavky na úspěšné ukončení předmětu: 1. Porozumění základním pojmům (diferenciální forma, operace s diferenciálními formami, integrál z diferenciální formy) a znalost základních teorémů (zejména Stokesův teorém) na úrovni potřebné pro kvalifikovaný výklad definic, důkazy základních tvrzení, interpretaci předpokladů tvrzení včetně uvádění vhodných protipříkladů. 2. Odvození klasických integrálních vět (Greenova, Gaussova-Ostrogradského, klasická Stokesova) z obecného Stokesova teorému. 3. Rutinní zvládnutí výpočtů vícenásobných integrálů, křivkových a plošných integrálů prvého i druhého druhu a jejich vzájemných převodů pomocí integrálních vět. 4. Užití obecného Stokesova teorému a klasických integrálních vět pro výpočet fyzikálních charakteristik lineárních a plošných útvarů, toku vektorového pole plochou, apod. a pro převody integrálních tvarů základních fyzikálních zákonů na tvary diferenciální. (Příklad: Faradayův zákon elektromagnetické indukce versus odpovídající Maxwellova rovnice). Písemná zkouška: Část (a)-příklady ověřuje schopnost studenta řešit úlohy komplexnějšího charakteru a použít přiměřeného matematického aparátu pro fyzikální výpočty. Část (b)-test prověřuje pochopení základních pojmů formou asi deseti jednoduchých úloh ne zcela standardního typu, vyžadujících určitou míru důvtipu spíše než obtížné rutinní počítání. Ústní část zkoušky: Diskuse o širší problematice úloh z písemné části. Každá část je klasifikována. Výsledek ukončení předmětu se stanoví ze všech známek získaných během semestru a všech známek u zkoušky s vahou 1. Pozn.: Literatura 3. je doplňková a určena vážným budoucím zájemcům o problematiku a její širší souvislosti.
Další komentáře
Předmět je dovoleno ukončit i mimo zkouškové období.
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2007 - akreditace, podzim 1999, podzim 2010 - akreditace, podzim 2000, podzim 2001, podzim 2002, podzim 2003, podzim 2004, podzim 2005, podzim 2006, podzim 2008, podzim 2009, podzim 2010, podzim 2011, podzim 2011 - akreditace, jaro 2012 - akreditace, podzim 2012, podzim 2013, podzim 2014, podzim 2015, podzim 2016, podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, jaro 2021, jaro 2022, jaro 2023, jaro 2025.