1.1.1.1 Základní vlastnosti vektorů a operace s vektory
V chemii pracujeme s různými veličinami. Tyto veličiny mohou být buď skalární – mají jedinou složku představující velikost (např. hmotnost, teplota), nebo vektorové – mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci (např. síla, okamžitá rychlost...), nebo mohou představovat data (např. časová řada, souřadnice, pozice, ...).
Vektor se na střední škole většinou zavádí zvlášť pro nenulový vektor a zvlášť pro nulový vektor. Stručně si zopakujeme běžně uváděné definice.
Nenulovým vektorem je označována množina všech nenulových orientovaných úseček (tj. úseček, u nichž je určen počáteční a koncový bod), které mají stejnou velikost a stejný směr.
![[figure]](images/vektory_def.png)
Směr je definován pouze pro nenulové orientované úsečky - dvě takové úsečky $ {\color{DarkBlue} {\overrightarrow{AB}}} $ a $ {\color{DarkBlue} {\overrightarrow{CD}}} $ mají stejný směr, jestliže přímky určené těmito úsečkami jsou rovnoběžné a body $ B $ , $ D $ leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou $ AC $ (obr. (2) vlevo), nebo přímky určené těmito úsečkami jsou totožné a průnikem polopřímek $ AB $ a $ CD $ je opět polopřímka (obr. (2) vpravo).
![[figure]](images/vektory_stejny_smer.png)
Nulovým vektorem bývá označována množina všech nulových orientovaných úseček (úsečky, jejichž počáteční bod je totožný s koncovým, tj. mající nulovou velikost).
Každá orientovaná úsečka tedy určuje nějaký vektor (je prvkem množiny orientovaných úseček tvořících tento vektor). Vektory se označují malými písmeny se šipkou nahoře (např. $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ ), v učebnicích se můžete setkat s jejich označením pomocí tučného písma (např. $ \boldsymbol{u} $ , $ \boldsymbol{v} $ ). Nulový vektor se většinou označuje písmenem "o" – $ \vec{o} $ , resp. $ \boldsymbol{o} $ . V obrázcích se označení pro konkrétní vektor (dejme tomu $ \vec{u} $ ) může zapsat u každé úsečky, která má stejnou velikost a stejný směr jako úsečka určující vektor $ \vec{u} $ .
![[figure]](images/vektory_oznaceni.png)
Jsou-li body $ A $ , $ B $ dány souřadnicemi $ A[a_1,a_2] $ a $ B[b_1,b_2] $ , resp. v prostoru $ A[a_1,a_2,a_3] $ a $ B[b_1,b_2,b_3] $ , přičemž $ a_1 $ , $ a_2 $ , $ a_3 $ , $ b_1 $ , $ b_2 $ a $ b_3 $ jsou reálná čísla a je-li vektor $ \vec{u} $ určen orientovanou úsečkou $ \overrightarrow{AB} $ , nazývají se čísla
$ u_1=b_1 - a_1 $ a $ u_2=b_2 - a_2 $ , resp. v prostoru i číslo \( u_3=b_3 - a_3 \) (1)
souřadnice vektoru $ \vec{u} $ . Zapisujeme $ {\color{DarkBlue} {\vec{u}=(u_1,\,u_2)}} $ , resp. $ {\color{DarkBlue} {\vec{u}=(u_1,\,u_2,\,u_3)}} $ .
Středoškolské pojetí vektorů nyní rozšíříme nejen na dvou a tří-složkové vektory.
Množinu $ {\color{DarkBlue} {\mathbb{R}^{n}}} $ uspořádaných $ n $ -tic reálných čísel s operacemi definovanými:
$$ \begin{align} \vec{u}+\vec{v} &= (u_1,u_2, \dots, u_n)+(v_1,v_2, \dots, v_n) \\ &= (u_1+v_1,u_2+v_2,\dots,u_n+v_n) \end{align} $$ (2)pro všechna $ k \in \mathbb{R} $ a $ \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n $ nazýváme reálným algebraickým vektorovým prostorem.
Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel $ {\color{DarkBlue} {\vec{u}=(u_1,u_2, \dots, u_n)}} $ , nazýváme algebraickými vektory. Existují i jiné vektorové prostory než jen "reálné algebraické". Přívlastkem "Reálný algebraický" máme na mysli, že množina vektorů je tvořena uspořádanými $ n $ -ticemi reálných čísel. Obecně však tyto $ n $ -tice nemusí být tvořeny pouze reálnými čísly, ale např. čísly racionálními. Vektory dokonce nemusí být jen uspořádané $ n $ -tice, ale množinou vektorů může být např. množina všech polynomů. Důležité je, aby vektory a čísla splňovaly tzv. axiomy vektorového prostoru. V tomto textu dále budeme pracovat především s reálným algebraickým vektorovým prostorem a algebraickými vektory a nebude-li řečeno jinak, budeme je stručně nazývat jako vektorový prostor a vektory.
Číslům $ {\color{DarkBlue} {u_1,u_2, \dots, u_n}} $ říkáme složky vektoru $ \vec u $ , vektoru $ {\color{DarkBlue} {\vec{u} + \vec v}} $ říkáme součet vektorů $ \vec u $ a $ \vec v $ , vektoru $ {\color{DarkBlue} {k \cdot \vec u}} $ říkáme součin čísla $ k $ s vektorem $ \vec u $ , číslu $ {\color{DarkBlue} {n}} $ říkáme dimenze prostoru $ \mathbb{R}^{n} $ , vektoru $ {\color{DarkBlue} {\vec{o} = (0,0, \dots, 0)}} $ říkáme nulový vektor.
Vektory tedy sčítáme (resp. odečítáme) "po složkách". Protože v jednotlivých složkách pracujeme se sčítáním reálných čísel, přenáší se komutativita a asociativita sčítání reálných čísel na sčítání vektorů. Násobení vektoru číslem provádíme rovněž "po složkách".